復習のポイント
- 四分位数：データを4等分する3つの値（Q₁、Q₂、Q₃）
- Q₂ = 中央値（メジアン）
- 四分位範囲 = Q₃ − Q₁（中央50%の散らばり）
- 箱ひげ図：5つの値（min, Q₁, Q₂, Q₃, max）で作る
- 箱の長さ = 四分位範囲
- 外れ値：他のデータから極端に離れた値
- 平均値は外れ値の影響大、中央値は影響小
解く前にそろえる型
- 四分位数は、まずデータを小さい順に並べてから求める。並べ替えを省くと、中央値もQ1・Q3もずれる。
- データの個数が奇数のとき、Q1・Q3を求める上下半分には中央値を含めない扱いで統一する。
- 箱ひげ図は「最小値、Q1、中央値、Q3、最大値」の5数要約を数直線上に置く図。箱の長さだけで全範囲を判断しない。
- 比較問題では、中央値で中心、四分位範囲で中央50%の散らばり、最大値・最小値で端の広がりを見る。
中央値Q2は4番目の8。下半分は2,4,6なのでQ1=4、上半分は10,12,20なのでQ3=12。
四分位範囲は 12−4=8。範囲は 20−2=18。外れ値の影響を受けやすいのは範囲のほう。
この章でつまずきやすいところ
データの活用は、計算自体は易しいのに「どこを読むのか」で迷子になりやすい単元です。並べ替え忘れ・偶数個の中央値・箱の長さの読み違い・中央値だけで結論、という4つの迷いを、本文や問題を読んでいる途中で起こる順に整理します。
並べ替える前に四分位数を求めようとしてしまう
- つまずく場面：問題文に「3, 6, 8, 10, 12, 14, 18」と最初から並んだデータが並んでいると、本文の『小さい順に並べる』という前提を読み飛ばし、ばらばらの数列でも同じ手順でQ₁やQ₃を求められると思い込んでしまう場面。
- 克服のコツ：見分け方は順序の確認。(1)昇順に並べ直す → (2)中央値Q₂を決める → (3)下半分・上半分に分けてQ₁とQ₃を読む、の手順の順序を必ず守る。本文の例題で先頭から並んでいるのは「すでに並んだ後の図」だと意識する。
- ミニ例：「12, 4, 8, 6, 10, 14, 2」を並べ替えずに4番目の6をQ₂とし、下半分「12,4,8」の中央値8をそのままQ₁にしてしまうとQ₁=8に見える。正しくは昇順に並べ替えて「2,4,6,8,10,12,14」とし、Q₂=8、Q₁=4、Q₃=12。順序を整える前後で値が変わる。
偶数個のデータで中央2つの平均を取り忘れる
- つまずく場面：本文の「2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16」のような偶数個データを見たとき、ちょうど真ん中の値を1つ選びたくなって「Q₂=8」や「Q₂=10」と片方だけ書いてしまい、中央値の位置が決まらず手が止まる場面。
- 克服のコツ：見分け方は個数の偶奇。nが奇数なら(n+1)/2番目の1つ、nが偶数ならn/2番目と(n/2+1)番目の2つの平均を取る。下半分・上半分に分けるときも、偶数個なら中央2値で素直に分割する手順を守る。
- ミニ例：「2,4,6,8,10,12,14,16」の中央は4番目8と5番目10。Q₂=(8+10)/2=9。下半分「2,4,6,8」のQ₁=(4+6)/2=5、上半分「10,12,14,16」のQ₃=(12+14)/2=13となる。
箱の長さを「人数の多さ」と読み違える
- つまずく場面：箱ひげ図を見ながら「Aクラスの方が箱が長いから人数が多い」と書きそうになり、本文の『箱の長さ＝四分位範囲＝中央50％の散らばり』という説明と頭の中の図がうまく結びつかず、何を表しているか分からなくなる場面。
- 克服のコツ：見分け方は位置関係。箱ひげ図の横方向は値の大きさ、箱の長さは中央50％がどれだけ広がっているかを示す。人数や度数を表すのはヒストグラム。「箱が長い＝真ん中の50％がばらついている」と言い換えて読む。
- ミニ例：Aの箱が10〜20でBの箱が5〜25のとき、箱の長さは10と20で、Bの方が中央50％の散らばりが大きい（箱ひげ図は人数の多さを表さない）。
中央値が同じなら散らばりも同じだと決めてしまう
- つまずく場面：比較問題で「Aの中央値=65、Bの中央値=65」と読んだ瞬間、「同じ点数の集まり」と早合点して結論を書こうとし、四分位範囲や最大・最小をまだ見ていないのに本文の比較手順を飛ばしてしまう場面。
- 克服のコツ：見分け方は因果関係。中央値は真ん中1点の情報でしかなく、散らばりとは別物。比較するときは(1)中央値で中心 → (2)四分位範囲で中央50％の散らばり → (3)最大値・最小値で端の広がりの順に必ず3つを読む。
- ミニ例：中央値はどちらも65でも、Aの四分位範囲が10、Bが20ならBの方が散らばりが大きい。教科書では「Aの方が点数が安定している」と整理する。
- 四分位数とは何か
- 第2四分位数は何の別名か
- 箱ひげ図に使う5つの値
- 箱の長さは何を表すか
- 外れ値とは
- 外れ値の影響を受けやすいのは平均値か中央値か
- 四分位範囲は何を測るか
- 箱ひげ図のひげの長さは何を示すか
- 「同じくらい」の中央値で四分位範囲が大きい方が散らばりが大きいか小さいか
- 箱ひげ図とヒストグラム、複数データの比較に向くのは
答えを見る
(1) データを4等分する3つの値（Q₁、Q₂、Q₃）
(2) 中央値（メジアン）
(3) 最小値、Q₁、Q₂（中央値）、Q₃、最大値
(4) 四分位範囲（中央50%の散らばり）
(5) 他のデータから極端に離れた値 (6) 平均値
(7) 中央50%の散らばり (8) 全体の散らばり（端のデータまでの距離）
(9) 散らばりが大きい (10) 箱ひげ図
- データ 3, 6, 8, 10, 12, 14, 18 の中央値
- 同データの Q₁
- 同データの Q₃
- 同データの四分位範囲
- データ 5, 7, 9, 11, 13, 15 の中央値
- 同データの四分位範囲
- データ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 の Q₂
- 同データの Q₁
- 同データの Q₃
- 同データの最大値・最小値
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(1) 10 (2) 6 (3) 14 (4) 8（=14−6）
(5) (9+11)/2 = 10 (6) Q₁=7, Q₃=13、四分位範囲=6
(7) (8+10)/2 = 9 (8) (4+6)/2 = 5 (9) (12+14)/2 = 13
(10) 最大=16、最小=2
- あるデータの5数要約：min=5, Q₁=10, Q₂=15, Q₃=20, max=25。四分位範囲
- 同データの全範囲
- 中央50%のデータがある範囲
- 2つのクラスの中央値：A=70、B=65。どちらが点数高い
- 四分位範囲：A=10、B=20。どちらが散らばり大
答えを見る
(1) 20−10 = 10 (2) 25−5 = 20 (3) 10〜20
(4) A（中央値が高い） (5) B（IQR大）
- 平均値と中央値、外れ値があるとき代表値としてどちらが信頼できる
- 「中央値が同じ＝散らばりも同じ」と言えるか
- 2クラスのテスト：A の中央値70、B の中央値75、IQR A=10、B=15。どう判断
- 箱ひげ図で「中央値が箱の左寄り」だと、データはどう分布
- 四分位範囲の1.5倍を超える値が外れ値の目安。Q₁=10、Q₃=20 のとき外れ値の境界
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(1) 中央値（外れ値の影響を受けにくい）
(2) 言えない（散らばりは四分位範囲を見ないと分からない）
(3) 中央値はBが高い（75>70）が、それだけで「全体的に高得点」とは断定できない。IQR（四分位範囲）はAが10、Bが15なので、Aの方が散らばりが小さく均一。
(4) データが左に集まり、右に長く裾を引く（右に長い分布）
(5) IQR = 10、Q₁ − 1.5×10 = −5 より小、Q₃ + 1.5×10 = 35 より大
テスト前のチェックリスト
- □ データを昇順に並べる
- □ 中央値の位置（奇数個・偶数個で違う）
- □ Q₁ = 下半分の中央値、Q₃ = 上半分の中央値
- □ 四分位範囲 = Q₃ − Q₁
- □ 箱ひげ図の5つの値
- □ 平均値と中央値の使い分け
- □ 外れ値の判定基準（IQR の1.5倍）
- □ 複数データの比較は箱ひげ図で
- 偶数個のデータ：中央値は中央2つの平均
- 中央値の位置：n が奇数なら (n+1)/2 番目、偶数なら n/2 と (n/2)+1 の平均
- 上下半分の分け方：奇数個のときは中央値を除いて分ける
- 散らばりの指標：範囲は外れ値の影響大、四分位範囲は影響小