単項式と多項式
単項式：数や文字の かけ算だけでできている式。例：3、x、2ab、5x²y
多項式：単項式の 足し算（・引き算）でできている式。例：x + 2、3x² + 5x − 1
項とは
多項式を 「+」で区切ったひとつひとつ。
例：3x² − 5x + 2 → 項は 3x²、−5x、+2 の3つ
「−」は マイナスごと項に含める。
次数とは
単項式の次数：かけている文字の個数
多項式の次数：項の中で最大の次数
5x → 次数 1（x が1個）
3x² → 次数 2（x が2個）
2ab → 次数 2（a が1個、b が1個 → 計2個）
5x²y → 次数 3
7（定数）→ 次数 0
3x² + 5x − 1 → 最大次数は 2 → 2次式
x + 2 → 最大次数 1 → 1次式
x³ + x² + x + 1 → 最大次数 3 → 3次式
係数とは
単項式の中で 文字に掛かっている数の部分
3x の係数は 3
−5x の係数は −5（マイナスごと）
x の係数は 1
−x の係数は −1
同類項
3x と 5x → 文字 x が同じ → 同類項
2x²と −7x² → 文字 x² が同じ → 同類項
3x と 5x² → 文字部分が違う（x と x²）→ 同類項ではない
2ab と 5ab → 同類項
2ab と 2a²b → 同類項ではない
同類項のまとめ方
3x + 5x = (3+5)x = 8x
7x² − 4x² = (7−4)x² = 3x²
2x + 3x² + 5x − x² = (3−1)x² + (2+5)x = 2x² + 7x
- x（次数1）と x²（次数2）は 違う文字部分。同類項ではない。
- 2x + 3x² を「5x²」とか「5x」と書くのは 誤り。
- 文字部分が 完全一致のときだけ同類項。
分類で迷ったときのチェック
- 単項式か多項式かは、最後に見える形で判断する。2x+3x はまとめると5xなので単項式になる。
- 項は符号ごと取り出す。3x²−5x+2 の項は 3x², −5x, 2。
- 次数は「文字の個数」。2ab は2次、4x²y は3次。係数の大きさは次数に関係しない。
- 定数だけの単項式は次数0として扱う。ただし中学の問題では、次数を聞かれた式の文脈も確認する。
項は −3x²y, +4xy, −7。次数はそれぞれ3,2,0なので、多項式全体は3次式。
この章でつまずきやすいところ
単項式と多項式の単元は、用語の定義は短いのに、式を目で追っている途中で「これは項？」「次数はどれ？」と手が止まりやすい場所です。本文を読みながら起きる代表的な迷いを4つ取り上げ、見分けるコツを整理します。
「−」を区切り記号と思い込んでしまう
- つまずく場面：本文の「3x² − 5x + 2 の項は 3x²、−5x、+2」を読んでいる途中で、「−5x」の前のマイナスを単なる区切り記号と思い、項を 3x²、5x、2 と取り出してしまう場面。係数の符号がどこへ行ったのか分からなくなる。
- 克服のコツ：見分け方は「マイナスは次の項にくっつけて持っていく」と決めること。式を読むとき、+と−の記号で目線を切ったら、切った直後の項に符号をそのまま付ける。+5x なら +5x のまま、−5x なら −5x のまま取り出すと、係数の符号を落とさずに済む。
- ミニ例：4x − 7y + 2 の項は 4x、−7y、+2。−7y を「7y」と書いたら符号落ち。次の計算で答えがズレる原因になる。
次数を「項の個数」と取り違えてしまう
- つまずく場面：本文の「次数 ：かけている文字の個数」と「項：+や−で分けられる式の一つ一つ」が近くに並んでいるため、x² + 3x + 1 を見て「項が3つあるから3次式」と数えてしまう場面。次数と項数のどちらを見るのか頭の中で混ざる。
- 克服のコツ：見分け方は「次数は1つの項の中の文字の個数、項数は式全体に並んでいる項の数」と役割を分けて覚えること。次数を出すときは1つの項に視線を絞り、その中の文字を数える。多項式全体の次数は、各項の次数を比べて最も大きい数を選ぶ。
- ミニ例：x² + 3x + 1 は項が3つだが、次数は x² の 2。「3次式」ではなく 2次式。項の個数と次数は別の話。
係数の1や−1を「ない」と思い込んでしまう
- つまずく場面：本文の「x の係数は 1」「−x の係数は −1」を読んだ直後の問題で、x + 2y の x や −x² + 3 の −x² を見て、「係数が書いていないから0」「マイナスだけで数字はない」と感じ、同類項をまとめる場面で消してしまう場面。
- 克服のコツ：見分け方は「文字の前に数字がなくても、見えない1がいる」と覚えること。x は 1×x、−x は (−1)×x と読み替える。同類項をまとめるときは、見えない1を頭の中で書き足してから係数どうしを足し引きすると、項を丸ごと消す失敗を防げる。
- ミニ例：x + 3x をまとめるときは (1+3)x = 4x。x を0と扱うと「3x」になってしまう。−x + 5x も (−1+5)x = 4x。
2ab の次数を「1」と数えてしまう
- つまずく場面：本文の「2ab → 次数 2 （a が1個、b が1個 → 計2個）」を読んでいる途中で、「文字は a と b の2種類」ではなく「文字の塊が ab で1つ」と見てしまい、次数を1と答えてしまう場面。文字の種類と文字の個数のどちらを数えるのか迷う。
- 克服のコツ：見分け方は「次数は文字の種類ではなく、かけ算で並んでいる文字の本数」と覚えること。式を見たら、指数も含めて文字を1本ずつ数え直す。a²b なら a が2本、b が1本で計3本。係数の数字の大きさは次数には関係しないことも合わせて確認する。
- ミニ例：2ab は a・b で次数2。5x²y は x・x・y で次数3。係数の 2 や 5 は次数には数えない。
練習問題
次は単項式か多項式か。
- 3xy
- x + 2y
- 5
- 2a² − 3a + 1
答えを見る
(1) 単項式 (2) 多項式 (3) 単項式 (4) 多項式
次の式の次数を答えよ。
- 5x³
- 2ab
- x² + 3x + 1
- 4x²y + 3xy
答えを見る
(1) 3 (2) 2 (3) 2 (4) 3（最初の項が 2+1=3次）
次の同類項をまとめよ。
- 4x + 7x − 3x
- 3a + 2b − a + 4b
- 5x² − 2x + 3x² + 4x
答えを見る
(1) 8x (2) 2a + 6b (3) 8x² + 2x
まとめ
- 単項式：数と文字の かけ算だけの式。
- 多項式：単項式の 足し算引き算の式。項に分けて考える。
- 次数：単項式は文字の個数、多項式は最大次数。
- 係数：文字に掛かる数の部分（符号込み）。
- 同類項：文字部分が 完全一致のもの。係数だけ計算してまとめる。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
数や文字を「記号」で表す代数のはじまり発展
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「代数学の父」フランソワ・ビエト発展
フランス出身のフランソワ・ビエト（1540〜1603年）は、初めて既知の数を記号で表し、記号代数の原理と方法を確立した人物です。当時ばらばらだった代数学を体系化した功績から「代数学の父」と呼ばれています。みなさんが当たり前に使う「文字でできた式」は、こうした歴史の積み重ねの上にあります。
BMIの式にひそむ「2次」の項実生活
健康診断で使うBMIは、体重(kg)を身長(m)の2乗で割って求める国際的な体格の指標です。「身長の2乗」は身長という文字が2個かけ合わさった2次の部分で、単項式の次数の考え方そのものです。式の次数を意識すると、計算の意味も読み取りやすくなります。
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なめらかな曲線を作る多項式実生活
イラストソフトや文字の形に使われるベジェ曲線・B-スプライン曲線は、コンピュータグラフィックスで広く使われるなめらかな曲線です。これらはパラメータの多項式で表され、n次のベジェ曲線では制御点がn+1個、つまり制御点の数を1つ減らした数が曲線の次数になります。多項式と次数は、画面に映る図形の形を決めているのです。