復習 ── 同類項とは
例：3x と 5x は同類項。3x と 5x² は 違う。3a² と −2a² は同類項。
- 同類項は「係数だけ足し引き」してまとめられる
- 例：3x + 5x = 8x
- 例：7a − 4a = 3a
- 例：2x² + 5x²= 7x²
- 例：2x + 3y はまとめられない（文字が違う）
多項式の足し算
かっこを外す：2x + 3y + 4x − y
同類項を集める：(2x + 4x) + (3y − y)
係数を計算：(2+4)x + (3−1)y
= 6x + 2y
= 3a² − 2a + 5 + a² + 4a − 3
= (3a² + a²) + (−2a + 4a) + (5 − 3)
= (3+1)a² + (−2+4)a + (5−3)
= 4a² + 2a + 2
= 5x − 2y + 3 − x + 6y − 4
= (5−1)x + (−2+6)y + (3−4)
= 4x + 4y − 1
多項式の引き算 ── 符号反転に注意
これは「−1 × (中身)」と考えるとわかりやすい。
かっこを外す（後ろの符号がすべて反転）：
5x + 2y − 3x + 4y
+3x → −3x、−4y → +4y
同類項：(5−3)x + (2+4)y
= 2x + 6y
= 4a² − 3a + 2 − a² − 5a + 1
(+a² → −a²、+5a → −5a、−1 → +1)
= (4−1)a² + (−3−5)a + (2+1)
= 3a² − 8a + 3
= 7x − 4 − 3x − 5
= (7−3)x + (−4−5)
= 4x − 9
縦に並べて計算する方法
3x² − 2x + 5
+) 2x² + 5x − 3
───────────
5x² + 3x + 2
→ 各列ごとに同類項を計算（次数ごとに揃える）
→ 縦に並べる時は、項が抜けたら空白を空ける
4a² − 3a + 2
−) a² + 5a − 1
───────────
3a² − 8a + 3
→ 引き算でも、各列ごとに引いて計算
→ −3a − 5a = −8a、2 − (−1) = 2 + 1 = 3
3つ以上の多項式の加減
= x + 2 + 2x − 3 − x − 1
= (1+2−1)x + (2−3−1)
= 2x − 2
= 3a − 2b + a + b − 2a + 3b
= (3+1−2)a + (−2+1+3)b
= 2a + 2b
多項式と数の乗法・除法
3 を各項にかける：
= 3·2x + 3·(−5y) + 3·4
= 6x − 15y + 12
÷3 は ×1/3 と同じ：
= (1/3)(6a − 9b)
= 2a − 3b
= (−1/2)(4x − 6y)
= (−1/2)·4x + (−1/2)·(−6y)
= −2x + 3y
負の数で割ると、各項の符号が変わるところに注意。
- × 2(x + 3) = 2x + 3
- ○ 2(x + 3) = 2x + 6
- かっこの中が3項でも同じ。すべての項にかける。
計算ミスを減らすコツ
- かっこ外しのとき、最初に符号をすべて確定させる（マイナスの分配を忘れずに）
- 項を線で結ぶと同類項のグループが見えやすい
- x の項、y の項を順番に並べ替えると計算しやすい
- 係数の足し算は 正・負を分けて計算するとミスが減る
- 最終的に 次数の高い順に並べると見やすい
- −(a − b) = −a + b（中身の符号がすべて反転）
- × −(a − b) = −a − b（誤り、−b → +b になる）
- −1 を中のすべての項にかける、と覚える
- 引き算が出てきたら、まず「マイナスかける」と意識する
- 3x と 5x → 同類項（OK）
- 3x と 5x² → 違う項（NG、まとめない）
- 2a²b と 3ab² → 違う項（NG、a と b の次数が違う）
- 定数同士はまとめられる（4 + 2 = 6）
- x の係数は 1（x = 1x）
- −x の係数は −1
- 係数が 1 のときは省略するが、計算では 1 として扱う
- 結果が 0x になったら、その項は消える（書かない）
この章でつまずきやすいところ
多項式の加減は「かっこを外す→同類項をまとめる」の二段構え。けれど読み進める途中で、引き算のかっこ外しや同類項の見分けで手が止まりやすい。ここでは式を眺めている途中に起きる迷いを取り上げます。
引き算のかっこを「前の項だけ」符号反転だと思い込んでしまう
- つまずく場面：(5x+2y)−(3x−4y) を見て、最初の 3x の符号は変えたものの、−4y はそのままにしてしまう。「マイナスがかかるのは先頭だけかな」と途中で迷い、ペンが止まる場面。
- 克服のコツ：因果関係で整理する。「− ( ) は −1×(中身)」と読み替えるのがコツ。−1 を中のすべての項に配るので、かっこ内が3項でも4項でも、全部の符号が反転する。最初に符号を確定させてから同類項を集めると安定する。
- ミニ例：(5x+2y)−(3x−4y) → かっこを外すと 5x+2y−3x+4y。−4y が +4y に変わるのを忘れない。
係数が近いと「同類項」と思い込んでしまう
- つまずく場面：3x と 5x² を見比べて「どちらも x が入っているし係数も小さい」と感じ、つい 8x² や 8x にまとめたくなる。本文の例を読みながら「これは同類項？」と迷ってしまう場面。
- 克服のコツ：見分け方で整理する。同類項の条件は文字の種類と次数がどちらも同じであること。係数の大小は関係ない。x と x² は次数が違うので別の項、2a²b と 3ab² も a・b の次数が逆なので別の項。文字と指数のセットが完全に一致するかだけを見る。
- ミニ例：3x と 5x²:次数が違うのでまとめられない。2a²b と 3ab²:a の次数が 2 と 1 で違うのでまとめられない。3a² と −2a² はまとめて a²。
同類項をまとめる時に指数まで足してしまう
- つまずく場面：2x²+5x² を計算する途中で「2+5=7、指数も 2+2=4 だから 7x⁴ かな」と迷う。加減と乗法のルールが頭の中で混ざり、本文の例と見比べて手が止まる場面。
- 克服のコツ：見分け方で整理する。加減では指数は変わらない。動くのは係数だけ。指数が足し算で動くのは「同じ文字どうしのかけ算」のとき（次の単元）。「+ や − のときは文字部分はコピーするだけ」と決めておくとブレない。
- ミニ例：2x²+5x² = 7x²（指数は 2 のまま）。3x+5x = 8x。7a−4a = 3a。
係数が省略された x や −x の係数を 0 と読み違えてしまう
- つまずく場面：(2x+1)+(x−3)−(x−2) のような式で、係数の書かれていない x をどう数えるか迷う。「x は 1 と数えるんだっけ、それとも 0？」と途中で止まり、最後に x の項が消えるのか残るのか自信が持てない場面。
- 克服のコツ：位置関係で整理する。文字の前に数字が無いときは係数 1、マイナスだけが付いているときは係数 −1として扱う（書かないだけで存在する）。計算後に係数が 0 になった項だけ消す。0x は書かない、1x は x と書く、というルールで仕上げる。
- ミニ例：x の係数は 1、−x の係数は −1。(2x+1)+(x−3)−(x−2) では x の係数を 2+1−1=2 と計算して 2x が残る。
練習問題
- (3x + 2) + (x − 4)
- (2a² + a − 3) + (a² − 4a + 5)
- (4x + 3y) + (2x − y)
答えを見る
(1) 4x − 2 (2) 3a² − 3a + 2 (3) 6x + 2y
- (5x − 3) − (2x + 4)
- (4a² − 5a + 2) − (a² − 3a + 6)
- (3x + 2y) − (x − y)
- (7a + 3) − (2a − 5)
答えを見る
(1) 3x − 7 (2) 3a² − 2a − 4 (3) 2x + 3y (4) 5a + 8
- (2x + 1) + (x − 3) − (x − 2)
- (a² − a) − (2a² + a) + (a² − 1)
答えを見る
(1) 2x + 1 + x − 3 − x + 2 = 2x
(2) a² − a − 2a² − a + a² − 1 = 0a² − 2a − 1 = −2a − 1
縦に並べて計算せよ。
(3x² + 2x − 5) − (x² − 4x + 2)
答えを見る
3x² + 2x − 5
−) x² − 4x + 2
──────────
2x² + 6x − 7
次の計算をせよ。
- 2(3x − 4y + 5)
- (8a − 12b) ÷ 4
- (6x − 9y + 3) ÷ (−3)
答えを見る
(1) 6x − 8y + 10
(2) 2a − 3b
(3) −2x + 3y − 1
まとめ
- 加減の基本：かっこを外す → 同類項をまとめる。
- 足し算：そのままかっこを外す。
- 引き算：かっこの中の符号がすべて反転。
- 縦に並べる計算も使える（次数ごとに揃える）。
- 多項式と数の乗除：分配法則で各項にかける。除法は逆数をかける。
- 同類項：文字と次数が同じ項のみまとめる。
- −(a − b) = −a + b（マイナスを分配）。
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※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
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