単項式の乗法
係数：3 × 4 = 12
文字：x × y = xy
→ 12xy
係数：2 × 5 = 10
文字：a × a = a²
→ 10a²
係数：3 × 2 = 6
文字：x² × x = x³（指数 2+1=3）
→ 6x³
累乗の指数のルール
単項式の除法
係数：6 ÷ 2 = 3
文字：a² ÷ a = a^(2−1) = a
→ 3a
15x²y ÷ 3xy = 15x²y / (3xy)
= 5x（係数：15/3=5、x²/x=x、y/y=1）
分数にする：12a²b / (−4ab)
係数：12 ÷ (−4) = −3
文字：a²/a = a、b/b = 1
→ −3a
累乗の指数（除法）
乗法と除法が混ざるとき
左から順に：(8a²b ÷ 2a) × 3b
= 4ab × 3b
= 12ab²
8a²b ÷ 2a × 3b = (8a²b × 3b) / 2a
= 24a²b² / 2a
= 12ab²
除法が混じる式では、分数の形にすると約分の見落としが減る。
- 8a²b ÷ 2a × 3b は、8a²b ÷ (2a × 3b) ではない。
- ÷ の後ろだけを分母に入れたいときは、かっこが必要。
- 迷ったら、乗法と除法を左から順に、または分数1本に直して計算する。
累乗の累乗
= 3³ × x^(2·3) = 27x⁶
- x^a × x^b = x^(a+b) ← 足す
- x^a ÷ x^b = x^(a−b) ← 引く
- (x^a)^b = x^(ab) ← 掛ける
- 混同しないように！
単項式の乗除を安定させる分解
- 係数、文字、符号を分けて計算する。
- 同じ文字の積は指数を足す。x²×x³=x⁵。
- 同じ文字の商は指数を引く。x⁵÷x²=x³。
- 除法は、逆数をかける形に直すと分数や符号のミスが減る。
係数は 12÷(−3)=−4。文字は a³÷a=a²、b²÷b=b。
答えは −4a²b。
この章でつまずきやすいところ
単項式の乗除は、係数と文字を分けて処理し、同じ文字の指数をどう扱うかがカギです。本文を読み進めるうちに「指数は足す？掛ける？」「÷の後ろはどこまで分母？」と迷う場面がよく出てきます。途中で立ち止まりやすい瞬間を整理しておきましょう。
x×xを2xと書いてしまう
- つまずく場面：本文の「2a × 5a = 10a²」を読んでいる途中、係数だけ見て「a × a も 2a になるのでは？」と迷う場面。a と a を足し算と掛け算で混同し、答えに 10·2a = 20a と書きそうになる。
- 克服のコツ：見分け方は演算記号で区別すること。足し算 a+a は係数を足して 2a、掛け算 a×a は指数を足して a²。本文で「× が並んでいる」「同じ文字をかける」と読めたら、係数は掛け算、文字は指数を足すと切り替える。
- ミニ例：3x × 2x を見たら、係数は 3×2=6、文字は x×x=x²。よって答えは 6x²。ここで 5x にしてしまうのは、×を+と読み違えて 3+2=5 と足したサイン。なお 6x にしてしまうのは指数の足し算を忘れたサインで、次項のつまずきにあたる。
同じ文字の累乗で指数を掛けてしまう
- つまずく場面：本文の「x^a × x^b = x^(a+b)」を読んだ直後に、例題 3x² × 2x が出てきて「2と1だから x の指数は 2×1=2 では？」と迷う場面。直前で出てきた「累乗の累乗 (x^a)^b = x^(ab)」と混同してしまう。
- 克服のコツ：式の形で見分けるのがコツ。文字と文字の間に × があれば指数は足す（同じ文字を「かける」＝掛けた回数の合計だから）。一方、( )^数 の形なら指数を掛ける（累乗を「さらに累乗する」から）。式の見た目で判別を切り替える。
- ミニ例：3x² × 2x は同じ文字 x の積なので指数を足し、2+1=3 で 6x³。一方 (3x²)³ は累乗の累乗なので指数を掛け、2×3=6 で 27x⁶。なお、係数 3×2=6 まで合っているのに文字を x のままにして 6x としてしまうのは、ここで指数を足し忘れたサイン。
÷の後ろ全部を分母に入れてしまう
- つまずく場面：本文の「8a²b ÷ 2a × 3b」を読みながら、「÷ の後ろ 2a × 3b をまとめて分母に置けばいいのかな」と迷う場面。分数1本に直すと書いてあったので、つい (2a × 3b) を分母に書いてしまう。
- 克服のコツ：位置関係で判断する。乗除が混ざった式は、左から順に処理するのが基本ルール。÷ の直後の項だけが分母に入り、その後ろの ×3b は分子側の掛け算として扱う。「÷の後ろ全部を分母に入れたい」ときは、本文どおりかっこが必要。
- ミニ例：8a²b ÷ 2a × 3b は (8a²b ÷ 2a) × 3b = 4ab × 3b = 12ab²。もし 8a²b ÷ (2a × 3b) のつもりで計算すると 4a/3 となり、まったく別の値になってしまう。
負の数の累乗で符号を見失う
- つまずく場面：練習問題の (−x²)³ や (−x)² を解く途中、「マイナスは累乗の中（x² に付いている）なのか、それとも ( ) の外にかかっているのか」で手が止まる場面。( ) の外の指数を符号にも適用すべきかどうかで迷い、なんとなく答えに「−」を付けるかどうか直感で決めてしまう。
- 克服のコツ：( ) の外に指数があるときは、( ) の中の符号もその回数だけ掛けられると読み替える。たとえば (−x²)³ は (−x²) を3回掛けるので、マイナスも3回掛かる。掛かる回数を数えてから、奇数回なら負、偶数回なら正と判断し、その後に文字部分の指数を別に処理する。
- ミニ例：(−x²)³ は (−x²) を3回掛けるので、(−1)³ × (x²)³ = (−1) × x⁶ = −x⁶（マイナス3回で負）。一方 (−x)² は (−x) を2回掛けるので、(−1)² × x² = 1 × x² = x²（マイナス2回で正）。同じ「マイナスが1個だけ見える式」でも、( ) の外の指数の回数で符号が変わる。
練習問題
- 2x × 5y
- 3a × 4a
- 2x² × 3x³
- (−4a) × (5b)
答えを見る
(1) 10xy (2) 12a² (3) 6x⁵ (4) −20ab
- 10x² ÷ 2x
- 12a³ ÷ 4a
- 15xy ÷ 3x
- 18a²b ÷ (−6ab)
答えを見る
(1) 5x (2) 3a² (3) 5y (4) −3a
- (2x)³
- (3a²)²
- (−x²)³
- 12x²y ÷ 3x × (−2y)
答えを見る
(1) 8x³ (2) 9a⁴ (3) −x⁶ (4) −8xy²
まとめ
- 単項式の乗法：係数は係数、文字は文字で計算。
- 同じ文字の累乗：指数を 足す（乗法）／引く（除法）。
- 累乗の累乗：指数を 掛ける。
- 単項式の除法：分数の形にして、係数と文字を約分する。
- マイナスの符号にも注意。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
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