なぜ文字を使って証明するのか
「偶数 + 偶数 = 偶数」を確かめる
例：2 + 4 = 6（偶数） ○
例：6 + 8 = 14（偶数） ○
→ いくつ例を挙げても「すべての場合」は確かめられない
→ 文字を使うと すべての偶数を一度に表せる
→ 「2m + 2n = 2(m+n)」で証明完了
整数の表し方（重要）
| 整数の種類 | 文字式 |
|---|---|
| 整数 | n（n は整数） |
| 偶数 | 2n |
| 奇数 | 2n + 1（または 2n − 1） |
| 3の倍数 | 3n |
| 5の倍数 | 5n |
| 連続する2整数 | n, n+1 |
| 連続する3整数 | n−1, n, n+1（または n, n+1, n+2） |
| 連続する2つの偶数 | 2n, 2n+2 |
| 連続する2つの奇数 | 2n−1, 2n+1 |
| 2桁の整数 | 10a + b（十の位 a, 一の位 b） |
| 3桁の整数 | 100a + 10b + c |
例1：2つの偶数の和は偶数
2つの偶数を 2m, 2n と表す（m, n は整数）
和：2m + 2n = 2(m + n)
m + n は整数なので、2(m + n) は 2 × 整数の形 → 偶数
よって、2つの偶数の和は偶数。 (証明終)
例2：偶数と奇数の和は奇数
偶数を 2m、奇数を 2n+1 とする（m, n は整数）
和：2m + (2n+1) = 2m + 2n + 1 = 2(m+n) + 1
m + n は整数なので、2(m+n) + 1 は 2 × 整数 + 1 の形 → 奇数
よって、偶数と奇数の和は奇数。
例3：連続する3つの整数の和は3の倍数
連続する3整数を n−1, n, n+1 と置く（中央を n に）
和：(n−1) + n + (n+1) = 3n
n は整数なので、3n は 3 × 整数 → 3の倍数
よって、連続する3整数の和は3の倍数。
確認：1+2+3=6（3の倍数）、2+3+4=9（3の倍数）、5+6+7=18（3の倍数）○
例4：連続する2つの奇数の和は4の倍数
連続する2奇数を 2n−1, 2n+1 と置く
和：(2n−1) + (2n+1) = 4n
n は整数なので、4n は 4の倍数
確認：1+3=4、3+5=8、5+7=12、7+9=16（全部4の倍数）○
2桁の数の表現
十の位 a、一の位 b の2桁の数は 10a + b
例：43 = 10·4 + 3 = 40 + 3 ✓
例：72 = 10·7 + 2 = 70 + 2 ✓
十の位と一の位を入れ替えた数：10b + a
例：43 を入れ替えると 34 = 10·3 + 4 ✓
例5：2桁の数とそれを入れ替えた数の和は11の倍数
元の数：10a + b、入れ替えた数：10b + a
和：(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)
a + b は整数なので、11(a+b) は 11 × 整数 → 11の倍数
確認：43 + 34 = 77 = 11·7 ✓、72 + 27 = 99 = 11·9 ✓
例6：2桁の数とそれを入れ替えた数の差は9の倍数
元 − 入れ替え：(10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b)
a − b は整数なので、9(a−b) は 9の倍数
確認：43 − 34 = 9 ✓、72 − 27 = 45 = 9·5 ✓
証明の書き方の手順
- 仮定（出発点）を文字で表す（例：偶数を 2n）
- 結論（言いたいこと）を式変形で導く
- 「2 × 整数」「3 × 整数」など 形を明示して結論
- 「m + n は整数だから」「k は整数だから」と 根拠を述べる
- 最後に「よって〜である」と結論
証明の答案例（テスト向け書き方）
3つの連続する偶数のうち、もっとも小さい数を 2n とおく（n は整数）。
3つの数は 2n, 2n+2, 2n+4 と表される。
和は、2n + (2n+2) + (2n+4)
= 6n + 6
= 6(n+1)
n+1 は整数なので、6(n+1) は 6の倍数である。
よって、3つの連続する偶数の和は6の倍数である。
真ん中の偶数を 2n とおくと、3つの数は 2n−2, 2n, 2n+2。
和：(2n−2) + 2n + (2n+2) = 6n
6n は6の倍数。中央を文字にすると、左右の −2 と +2 が消えて計算が短くなる。
- 文字式で説明する前に、まず具体例を2〜3個試すとよい。
- 反例が1つでもあれば、「いつでも成り立つ」とはいえない。
- 例：「連続する2整数の積に1を足すと平方数」は、2·3+1=7 なので成り立たない。
- 2つの 異なる偶数を表すときは 異なる文字（例：2m と 2n）
- 同じ文字 2n を2回使うと「同じ偶数」になってしまう
- 2n + 2n = 4n だけど、これは「同じ偶数の2倍」の意味
- × 偶数を 2n とおき、もう1つの偶数を 2n とする…
- ○ 偶数を 2m、もう1つの偶数を 2n とする…
- 連続する2整数：n と n+1（n−1 と n でもOK）
- 連続する3整数：n−1, n, n+1 と 中央を n にすると計算がラク
- 連続する偶数：差が 2 → 2n, 2n+2
- 連続する奇数：差が 2 → 2n−1, 2n+1
- 3 × 整数 の形になれば3の倍数
- 3n は確かに3の倍数だが、「3(n+2)」「3(2n−1)」も3の倍数
- 結論で「これは 3 × (整数) なので3の倍数」と明示する
- n + 2 が整数であることもひと言添えると親切
この章でつまずきやすいところ
文字式で整数の性質を説明する単元は、本文を追っているうちに「どの文字を使うんだっけ」「これで証明になっているの」と迷いやすい。読み進める途中で立ち止まりがちな具体場面を整理する。
2つの偶数を同じ文字 2n で置いてしまう
- つまずく場面：本文の「2つの偶数の和は偶数」を読みながら、自分でも書いてみようとしたとき、つい両方とも 2n と置いて 2n+2n=4n としてしまい、「これで証明できた気がする」と止まってしまう場面。
- 克服のコツ：見分け方は「同じ数」か「別の数」かを仮定に戻って確認すること。2つの偶数は別々に動く数なので、異なる文字 m と n を使って 2m と 2n と置く。同じ 2n を2回使うと、たまたま等しい偶数の場合しか示せていない。
- ミニ例：× 偶数を 2n、もう1つも 2n とする → 2n+2n=4n。
○ 偶数を 2m、もう1つを 2n とする → 2m+2n=2(m+n)。
連続する3整数を n, 2n, 3n と置いてしまう
- つまずく場面：「連続する3整数の和は3の倍数」を読みながら、3の倍数だから 3n が出るはずと先回りして、3つの数自体を n, 2n, 3n と置いてしまう場面。書いた瞬間「あれ、これは連続じゃない」と気付かず先へ進みかける。
- 克服のコツ：見分け方は「連続」と「倍数」を混同しないこと。連続する整数は差がちょうど1ずつ増える数なので、n, n+1, n+2 か、中央を n にして n−1, n, n+1 と置く。3の倍数の形 3n は、計算した結果として出てくる目標。
- ミニ例：連続する3整数を n−1, n, n+1 と置くと、和は (n−1)+n+(n+1)=3n。中央を n にすると ±1 が消えて計算がラクになる。
式を変形しただけで証明が終わったと思ってしまう
- つまずく場面：2m+2n を計算して 2(m+n) まで変形できたところで、「式が出たからこれで終わり」と感じて止まってしまう場面。なぜそれが偶数だと言えるのか、言葉で書く部分を抜かしてしまう。
- 克服のコツ：因果関係は「式の形」→「整数である根拠」→「結論」の順で書く。2(m+n) の形が出たら、「m+n は整数」とひと言添えてから、「2×整数の形だから偶数」と結論を言葉で述べる。形を出すだけでは証明は閉じない。
- ミニ例：2m+2n=2(m+n)。m+n は整数だから、2(m+n) は 2×整数 → 偶数。よって2つの偶数の和は偶数である。
2桁の数 43 を a+b や 4a+3b と書いてしまう
- つまずく場面：「十の位 a、一の位 b の2桁の数を文字で表す」と本文にあり、自分で 43 を書こうとして、a+b にしたり 4a+3b にしてしまう場面。位の意味を式に乗せられず、入れ替えた数も書けなくなる。
- 克服のコツ：位置関係を整理する。十の位は10倍、一の位はそのまま足す約束なので、2桁の数は 10a+b。入れ替えた数は十の位が b、一の位が a になるから 10b+a。位の重みを書き忘れると、和が11の倍数になる仕組みも見えなくなる。
- ミニ例：43=10·4+3=40+3。入れ替えると 34=10·3+4。和は 43+34=77=11·7、ちゃんと11の倍数。
練習問題
- 奇数を文字で表せ
- 5の倍数を文字で表せ
- 連続する2つの偶数を文字で表せ
- 3桁の整数を文字で表せ（百a、十b、一c）
答えを見る
(1) 2n+1（または 2n−1） (2) 5n (3) 2n, 2n+2 (4) 100a + 10b + c
「連続する2つの奇数の和は4の倍数である」ことを証明せよ。
答えを見る
連続する2奇数を 2n−1, 2n+1 とする。
和：(2n−1) + (2n+1) = 4n
n は整数なので 4n は 4 × 整数 → 4の倍数。よって、連続する2奇数の和は4の倍数。
「2桁の数とその十の位と一の位を入れ替えた数との差は9の倍数」を証明せよ。
答えを見る
元の数を 10a + b、入れ替えを 10b + a とする。
差：(10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b)
a − b は整数なので 9(a−b) は 9 × 整数 → 9の倍数。
「3つの連続する偶数の和は6の倍数」を証明せよ。
答えを見る
3つの連続する偶数を 2n, 2n+2, 2n+4 とする。
和：2n + (2n+2) + (2n+4) = 6n + 6 = 6(n+1)
n+1 は整数なので 6(n+1) は 6 × 整数 → 6の倍数。
まとめ
- 整数の表現：n、2n（偶数）、2n+1（奇数）、3n（3の倍数）。
- 連続する整数：n と n+1、n−1・n・n+1。
- 2桁の数：10a + b。入れ替え：10b + a。
- 証明：仮定を文字で表す → 計算 → 形を明示 → 結論。
- 2つの異なる数には 違う文字を使う。
- 結論で「k × 整数」の形を強調する。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
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