等式の変形 ── 特定の文字について解く｜中2数学

等式の変形とは

用語

等式の変形

等式の中の 特定の文字について解くこと。「x = 〜」「y = 〜」の形に直す。
※ 元の等式と 意味は同じ。形を変えるだけ。

使う性質（中1の方程式の復習）

① 両辺に同じ数を足してもよい（A = B なら A+c = B+c）
② 両辺から同じ数を引いてもよい（A−c = B−c）
③ 両辺に同じ数を掛けてもよい（cA = cB）
④ 両辺を同じ 0でない数で割ってもよい（A/c = B/c）
これら4つの性質で式を変形しても 等号は保たれる

「移項」のおさらい

移項とは

項を反対側に移すとき 符号を反転させる操作

A + B = C → A = C − B（+B が −B に）

A − B = C → A = C + B（−B が +B に）

A × B = C → A = C ÷ B（×B が ÷B に、両辺を B で割る）

A ÷ B = C → A = C × B（÷B が ×B に、両辺に B を掛ける）

x について解く

例1：y = 3x + 5 を x について解く

目標：x = 〜の形にする

まず +5 を移項：y − 5 = 3x

両辺を3で割る：(y − 5) / 3 = x

→ x = (y − 5) / 3

例2：2x + 3y = 12 を x について解く

3y を右辺に移項：2x = 12 − 3y

両辺を2で割る：x = (12 − 3y) / 2

展開してもよい：x = 6 − (3/2)y

例3：4x − 5y + 8 = 0 を x について解く

−5y と +8 を右辺に移項：4x = 5y − 8

両辺を4で割る：x = (5y − 8) / 4

y について解く

例4：2x + 3y = 12 を y について解く

2x を右辺に移項：3y = 12 − 2x

両辺を3で割る：y = (12 − 2x) / 3

展開してもよい：y = 4 − (2/3)x

例5：y = 3x + 5 をすでに「y =」の形なのでそのままy について解けている

→ 何も変形不要

これを x について解いた結果が例1

分数や複雑な式

例6：S = (a + b)h / 2（台形の面積）を h について解く

両辺に2を掛ける：2S = (a + b)h

両辺を (a + b) で割る：

h = 2S / (a + b)

例7：S = (a + b)h / 2 を a について解く

両辺に2を掛ける：2S = (a + b)h

両辺を h で割る：2S / h = a + b

b を移項：a = 2S/h − b

身近な公式の変形

速さの公式

距離＝速さ × 時間（s = vt）

速さ＝距離 ÷ 時間（v = s/t）

時間＝距離 ÷ 速さ（t = s/v）

→ 同じ等式を 解く文字を変えると3つの式に

→ 「みはじ」と覚えなくても、等式変形で導ける

他の身近な公式

長方形の周 ℓ = 2(a + b)

→ a について解く：a = (ℓ − 2b) / 2 = ℓ/2 − b

三角形の面積 S = bh/2

→ h について解く：h = 2S/b

→ b について解く：b = 2S/h

直方体の体積 V = abh

→ h について解く：h = V/(ab)

解くときの流れ（手順）

解きたい文字を含む項を左辺に、それ以外を右辺に移項
解きたい文字の係数を見つける
係数で両辺を割る（あるいは分数なら掛ける）
必要に応じて 分母の払い・展開・約分を行う
「x = 〜」「y = 〜」の形で完成

つまずきポイント①：両辺に同じ操作

移項：符号を反転して反対側に移す
両辺を同じ数で割る／掛ける。一方だけはNG
×　2x + 3y = 6 を「x + 3y = 3」（左辺だけ÷2）にする
○　両辺÷2 → x + (3/2)y = 3、あるいは 2x = 6 − 3y → x = (6 − 3y)/2

つまずきポイント②：分数の処理

分母が邪魔なときは、両辺に分母を掛けて分母を払う
S = bh/2 → 両辺に2を掛けて 2S = bh とすると以降がラク
分数やかっこは、式を整理してから最後に処理するとミスが減る

つまずきポイント③：係数のマイナス

x の係数が負の場合、最後に両辺の符号を反転させる
例：−2x = 4 − y → x = (y − 4)/2
両辺を−2で割ると、符号が一斉に反転する

練習問題

問題1（x について解く）

y = 2x + 3
3x − y = 6
5x + 4y = 20
2x − 3y + 6 = 0

答えを見る

(1) x = (y − 3)/2

(2) x = (y + 6)/3

(3) x = (20 − 4y)/5

(4) x = (3y − 6)/2

問題2（y について解く）

2x + y = 5
3x − 4y = 12

答えを見る

(1) y = 5 − 2x（または y = −2x + 5）

(2) y = (3x − 12)/4

問題3（公式の変形）

S = bh/2 を h について解け
ℓ = 2(a + b) を b について解け（長方形の周）
V = πr²h を h について解け（円柱の体積）

答えを見る

(1) h = 2S/b

(2) b = (ℓ − 2a)/2 = ℓ/2 − a

(3) h = V / (πr²)

問題4（速さの式）

速さの公式 s = vt（s = 距離、v = 速さ、t = 時間）を、t について解け。

答えを見る

両辺を v で割る：s/v = t、つまり t = s/v

まとめ

等式の変形：解きたい文字を 左辺だけに。
使う操作：移項、両辺に同じ数を掛ける／割る。
4つの性質：足す・引く・掛ける・割る（0以外で）。
公式の変形：同じ等式から複数の式が得られる（速さの3式など）。
分数やかっこは、両辺に同じ操作をして整理する。
係数がマイナスなら最後に符号反転。