復習のポイント
- 一次関数：y = ax + b（a≠0）、a=傾き、b=切片
- 変化の割合 = a（一定）、y の増加 = a × x の増加
- グラフ：切片から傾きの分だけ進む
- 2点から式：a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- 交点 = 連立方程式の解
- 応用：水量・料金・動点・温度
一次関数の問題を始める前に
- 式は y=ax+b。aは変化の割合、bはy切片。グラフでは「右に1進んだときの上下」と「y軸との交点」を見る。
- 2点から式を求めるときは、a=(yの増加量)/(xの増加量) を先に計算し、次に1点を代入してbを求める。
- 交点は連立方程式で求める。グラフを読む問題でも、正確な値が必要なら式で確認する。
- 利用問題では、xとyが何を表すか、単位を先に書いてから式を立てる。
例：2点 (1,3), (4,9) を通る直線
a=(9−3)/(4−1)=2。y=2x+b に (1,3) を代入して 3=2+b、b=1。
式は y=2x+1。
A 値・傾き・切片（10問）
- y = 3x + 5 の傾きと切片
- y = −2x + 4 で x = 3 のとき y
- y = (1/2)x − 1 で y = 0 のときの x
- y = 4x + 7 で x が 2 から 5 に増えるとき y の増加量
- y = ax + b で (0,3) (2,7) を通る → a, b
- 傾き 3、(1,5) を通る直線
- (2,1) (5,7) を通る直線
- (−1,2) (3,−2) を通る直線
- y = 2x + b で (3,5) を通る → b
- y = 4x の x 軸切片
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(1) 傾き 3、切片 5 (2) −2 (3) 2 (4) 12（4×3）
(5) a=2, b=3 (6) y=3x+2 (7) y=2x−3 (8) y=−x+1 (9) b=−1 (10) (0,0)
B グラフ・交点（10問）
- y = 2x + 1 と y = −x + 4 の交点
- y = 3x − 2 と y = x + 4 の交点
- y = x + 5 と y = x − 3 の関係
- y = 2x + b と y = 2x + 1 が同じ直線になる b
- x 軸切片を求めよ：y = 5x − 10
- y = −2x + 6 の x 軸との交点
- 原点を通る直線で傾き 4
- (0,3) を通り傾き 2 の直線
- 2直線 y=3x+1、y=−x+9 の交点
- (1,5) と (3,−1) を通る直線
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(1) (1,3) (2) (3,7) (3) 平行（傾き同じ・切片違い）
(4) b=1（一致） (5) (2,0) (6) (3,0) (7) y=4x
(8) y=2x+3 (9) (2,7) (10) y=−3x+8
C 変化の割合・増加量（10問）
- y = 3x − 2 の変化の割合
- y = (1/2)x + 1 で x が 4 増えると y の増加量
- y = −x + 5 で x が −3 から 2 に変化する y の変化
- 変化の割合が 2 で (3,1) を通る一次関数
- 2点 (1,5) (4,11) を通る変化の割合
- x が 2 から 5 に増えると y が 9 増える → 変化の割合
- y = −3x + 4 で x = −2 のとき y
- y = ax で (2,−6) を通る → a
- 傾き 1/3 で (6,4) を通る一次関数
- y = 2x + 1 と y = −x + 4 の傾きの和
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(1) 3 (2) 2（=1/2 × 4） (3) −5（=−1×5）
(4) y = 2x − 5 (5) (11−5)/(4−1) = 2 (6) 9/3 = 3 (7) 10
(8) a = −3 (9) y = (1/3)x + 2 (10) 2 + (−1) = 1
D 応用（10問）
- 100L タンクに毎分5L の水を入れる。x 分後の水量 y
- 料金プラン：A = 50x + 1000、B = 80x + 400。どちらが得？
- 動点 P が x cm 動いたときの三角形の面積 y = 2x の式
- 気温は2km 上がるごとに6℃ 下がる、地上 20℃。高度 x km の温度
- 毎時 5km で歩き始める。a 時間後の総歩行距離 y
- 長さ30cm のろうそく、毎分 0.5cm 燃える。x 分後の長さ
- 40L のタンクから毎分2L 抜く。x 分後の水量
- 底辺 10cm、高さ 8cm の三角形、底辺を動点 P が 1cm/秒で進む。x 秒後の △ APD（A は頂点）の面積
- 携帯料金：基本料 2000円＋1分 30円。x 分で y 円
- 家を出て、毎分80m で歩く。x 分後の家からの距離 y
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(1) y = 5x + 100（増えるので＋） (2) 50x+1000=80x+400 → x=20。20分未満なら B、20分なら同額、20分を超えるなら A
(3) y = 2x (4) y = −3x + 20 (5) y = 5x（距離は時間×速さ）
(6) y = −0.5x + 30 (7) y = −2x + 40 (8) 高さ8、底辺xなので y = 4x（変域 0≦x≦10）
(9) y = 30x + 2000 (10) y = 80x
テスト前のチェックリスト
- □ y = ax + b の a、b の意味（傾き・切片）
- □ 変化の割合は a で一定
- □ グラフ：切片から始めて、右1・上下a で次の点
- □ 2点を通る直線：a = (y差)/(x差)、b は代入で
- □ 交点 = 連立方程式の解
- □ 平行：傾き同じ・切片違い、一致：両方同じ
- □ 応用：「変化率」と「初期値」を見つける
つまずきポイントの再確認
- 傾きと変化の割合は同じ
- 増えるか減るか：傾きが正→右上がり、負→右下がり
- y軸切片と x軸切片の区別：y軸切片 = (0, b)、x軸切片 = y=0 のときの x
- 応用問題：減るものは傾きが負（水を抜く・ろうそくが燃える）