復習のポイント
- 一次関数：y = ax + b（a≠0）、a=傾き、b=切片
- 変化の割合 = a（一定）、y の増加 = a × x の増加
- グラフ：切片から傾きの分だけ進む
- 2点から式：a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- 交点 = 連立方程式の解
- 応用：水量・料金・動点・温度
一次関数の問題を始める前に
- 式は y=ax+b。aは変化の割合、bはy切片。グラフでは「右に1進んだときの上下」と「y軸との交点」を見る。
- 2点から式を求めるときは、a=(yの増加量)/(xの増加量) を先に計算し、次に1点を代入してbを求める。
- 交点は連立方程式で求める。グラフを読む問題でも、正確な値が必要なら式で確認する。
- 利用問題では、xとyが何を表すか、単位を先に書いてから式を立てる。
例：2点 (1,3), (4,9) を通る直線
a=(9−3)/(4−1)=2。y=2x+b に (1,3) を代入して 3=2+b、b=1。
式は y=2x+1。
この章でつまずきやすいところ
一次関数の章末問題は、式・グラフ・交点・応用が混ざって出てくるので、本文を読んでいる途中で「あれ、傾きってどっちだっけ」と手が止まりがちです。ここでは読みながら迷いやすい場面を取り上げます。
傾きと切片を逆に読み取ってしまう
- つまずく場面：y=3x+5 の式を見て「傾きは5、切片は3」と書いてしまう場面。文字の位置ではなく数字の大きさで判断してしまい、本文の「a=傾き、b=切片」を読んだあともグラフ作成で混乱します。
- 克服のコツ：見分け方で整理します。xにくっついている数（=xの係数）が傾き、xにくっついていない単独の数が切片と覚えるのが安全です。式を見たら必ず「xの係数」を指でなぞり、それを傾きと確定してから残った定数を切片と読む順番にすると逆転が起きにくくなります。
- ミニ例：y=3x+5 なら、xの隣にある3が傾き、独立している5が切片。グラフはy軸の(0,5)から始めて、右に1進んだら上に3上がる点をとる。
変化の割合の分子と分母を入れ替えてしまう
- つまずく場面：2点(1,5)(4,11)から式を作るとき、「変化の割合=xの増加量/yの増加量」と書いて (4−1)/(11−5) を計算してしまう場面。本文中の式 a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁) を読んだ直後でも、計算に入ると逆になりがちです。
- 克服のコツ：因果関係で整理します。xが先に動き、その結果yが変わるという向きを意識すると、「結果(y)を原因(x)で割る」と決まります。分数の上にy、下にxと書き、必ず「上はyの差、下はxの差」と声に出してから数字を入れる手順にすると逆転を防げます。
- ミニ例：(1,5)と(4,11)なら、上にyの差 11−5=6、下にxの差 4−1=3を書いて、6÷3=2。だから変化の割合は2。
x軸切片とy軸切片を同じものだと思い込む
- つまずく場面：「y=5x−10 のx軸切片を求めよ」を読んで、本文の「切片=y軸との交点」だけを覚えていて、答えを−10と書きそうになる場面。x軸切片とy軸切片の違いが頭に入っていないと、式を見ただけで答えてしまいます。
- 克服のコツ：位置関係で整理します。y軸切片はx=0のときのy、x軸切片はy=0のときのxです。問題文で「x軸」と「y軸」のどちらが書いてあるかに丸をつけ、対応するもう一方の文字に0を入れる、という手順を固定すると取り違えが減ります。
- ミニ例：y=5x−10 でx軸切片を求めるなら、yに0を入れて 0=5x−10、x=2。だから(2,0)。y軸切片なら、xに0を入れて y=−10。
「減る」場面なのに傾きを正の数で立式してしまう
- つまずく場面：「40Lのタンクから毎分2L抜く。x分後の水量y」を読んで、増減の向きを確かめずに y=2x+40 と書いてしまう場面。「毎分2L」という数字だけが目に入って、「抜く」という方向の情報を式に反映し忘れます。
- 克服のコツ：因果関係で整理します。増えるなら傾きは正、減るなら傾きは負と先に決めるのがコツ。問題文の動詞（入れる/抜く・燃える/伸びる・上がる/下がる）に印をつけ、減る向きの語があれば必ず傾きにマイナスをつけてから数値を入れる順にします。
- ミニ例：「毎分2L抜く」は減る向きなので傾きは−2、初期値は40Lだから切片は40。式は y=−2x+40（変域は 0≦x≦20）。
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A 値・傾き・切片（10問）
- y = 3x + 5 の傾きと切片
- y = −2x + 4 で x = 3 のとき y
- y = (1/2)x − 1 で y = 0 のときの x
- y = 4x + 7 で x が 2 から 5 に増えるとき y の増加量
- y = ax + b で (0,3) (2,7) を通る → a, b
- 傾き 3、(1,5) を通る直線
- (2,1) (5,7) を通る直線
- (−1,2) (3,−2) を通る直線
- y = 2x + b で (3,5) を通る → b
- y = 4x の x 軸切片
答えを見る
(1) 傾き 3、切片 5 (2) −2 (3) 2 (4) 12（4×3）
(5) a=2, b=3 (6) y=3x+2 (7) y=2x−3 (8) y=−x+1 (9) b=−1 (10) (0,0)
B グラフ・交点（10問）
- y = 2x + 1 と y = −x + 4 の交点
- y = 3x − 2 と y = x + 4 の交点
- y = x + 5 と y = x − 3 の関係
- y = 2x + b と y = 2x + 1 が同じ直線になる b
- x 軸切片を求めよ：y = 5x − 10
- y = −2x + 6 の x 軸との交点
- 原点を通る直線で傾き 4
- (0,3) を通り傾き 2 の直線
- 2直線 y=3x+1、y=−x+9 の交点
- (1,5) と (3,−1) を通る直線
答えを見る
(1) (1,3) (2) (3,7) (3) 平行（傾き同じ・切片違い）
(4) b=1（一致） (5) (2,0) (6) (3,0) (7) y=4x
(8) y=2x+3 (9) (2,7) (10) y=−3x+8
C 変化の割合・増加量（10問）
- y = 3x − 2 の変化の割合
- y = (1/2)x + 1 で x が 4 増えると y の増加量
- y = −x + 5 で x が −3 から 2 に変化する y の変化
- 変化の割合が 2 で (3,1) を通る一次関数
- 2点 (1,5) (4,11) を通る変化の割合
- x が 2 から 5 に増えると y が 9 増える → 変化の割合
- y = −3x + 4 で x = −2 のとき y
- y = ax で (2,−6) を通る → a
- 傾き 1/3 で (6,4) を通る一次関数
- y = 2x + 1 と y = −x + 4 の傾きの和
答えを見る
(1) 3 (2) 2（=1/2 × 4） (3) −5（=−1×5）
(4) y = 2x − 5 (5) (11−5)/(4−1) = 2 (6) 9/3 = 3 (7) 10
(8) a = −3 (9) y = (1/3)x + 2 (10) 2 + (−1) = 1
D 応用（10問）
- 100L タンクに毎分5L の水を入れる。x 分後の水量 y
- 料金プラン：A = 50x + 1000、B = 80x + 400。どちらが得？
- 動点 P が x cm 動いたときの三角形の面積 y = 2x の式
- 気温は2km 上がるごとに6℃ 下がる、地上 20℃。高度 x km の温度
- 毎時 5km で歩き始める。a 時間後の総歩行距離 y
- 長さ30cm のろうそく、毎分 0.5cm 燃える。x 分後の長さ
- 40L のタンクから毎分2L 抜く。x 分後の水量
- 底辺 10cm、高さ 8cm の三角形、底辺を動点 P が 1cm/秒で進む。x 秒後の △ APD（A は頂点）の面積
- 携帯料金：基本料 2000円＋1分 30円。x 分で y 円
- 家を出て、毎分80m で歩く。x 分後の家からの距離 y
答えを見る
(1) y = 5x + 100（増えるので＋） (2) 50x+1000=80x+400 → x=20。20分未満なら B、20分なら同額、20分を超えるなら A
(3) y = 2x (4) y = −3x + 20 (5) y = 5x（距離は時間×速さ）
(6) y = −0.5x + 30 (7) y = −2x + 40 (8) 高さ8、底辺xなので y = 4x（変域 0≦x≦10）
(9) y = 30x + 2000 (10) y = 80x
テスト前のチェックリスト
- □ y = ax + b の a、b の意味（傾き・切片）
- □ 変化の割合は a で一定
- □ グラフ：切片から始めて、右1・上下a で次の点
- □ 2点を通る直線：a = (y差)/(x差)、b は代入で
- □ 交点 = 連立方程式の解
- □ 平行：傾き同じ・切片違い、一致：両方同じ
- □ 応用：「変化率」と「初期値」を見つける
つまずきポイントの再確認
- 傾きと変化の割合は同じ
- 増えるか減るか：傾きが正→右上がり、負→右下がり
- y軸切片と x軸切片の区別：y軸切片 = (0, b)、x軸切片 = y=0 のときの x
- 応用問題：減るものは傾きが負（水を抜く・ろうそくが燃える）