図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
応用問題の基本パターン
- 共通の形：y = (変化率) × x + (初期値)
- 変化率 a：単位時間 / 単位距離あたりの変化量
- 初期値 b：x = 0 のときの y の値（スタート地点）
- このパターンに当てはめれば、現実の問題が式になる
動点の問題
点 P が A(0) から毎秒2cmで進む。x 秒後の P の位置 y は？
y = 2x（変化率 2、初期値 0、比例関係）
5cm の位置から始めたなら：y = 2x + 5（一次関数）
A(0) からなら10秒後は y = 20cm、5cm の位置からなら y = 25cm
A から P が毎秒1cm、B(20cm) から Q が毎秒3cm でAに向かって進む
P：y = x（位置） Q：y = 20 − 3x
出会う：x = 20 − 3x → 4x = 20 → x = 5
5秒後に位置 5cm で出会う
速さと時間（水の問題）
100Lの水槽に毎分3Lずつ水を入れる。x 分後の水量 y は？
y = 3x + 100
200L になるのは：200 = 3x + 100 → x = 100/3 分 ≈ 33.3 分
200L の水槽から毎分5Lずつ水を抜く。x 分後の水量 y は？
y = −5x + 200（減るので傾きが負）
空になるのは：0 = −5x + 200 → x = 40 分
料金プランの比較
プラン A：基本料 1000円 + 通話 1分 20円 → y = 20x + 1000
プラン B：基本料 2000円 + 通話 1分 10円 → y = 10x + 2000
どちらが得？ → 交点で考える
20x + 1000 = 10x + 2000 → 10x = 1000 → x = 100
100分未満：プラン A が得（基本料が安い）
100分を超える：プラン B が得（通話単価が安い）
100分でちょうど同じ料金
A 駐車場：30分 200円、以後10分ごとに50円
B 駐車場：1時間まで500円、以後 10分ごとに100円
どちらが得かは利用時間によって変わる → グラフを描いて比較すると一目瞭然
温度変化
地下に1m掘るごとに温度が0.5℃上がる。地上が25℃。
深さ x m での温度 y = 0.5x + 25
深さ 100m：y = 0.5·100 + 25 = 75℃
標高が100m上がるごとに気温が0.6℃下がる。地上が20℃
標高 x m での気温 y = −0.006x + 20
富士山頂（3776m）：y = −0.006·3776 + 20 ≈ −2.7℃
動点と三角形の面積
底辺 BC = 10cm、高さ 8cm の三角形 ABC（B から C への線が底辺）。
動点 P が頂点 B から BC 上を秒速 1cm で進む。
x 秒後の三角形 BPA の面積 y は？
BP = x、高さは元のまま 8cm
y = (1/2) × x × 8 = 4x
→ y = 4x（変域 0 ≦ x ≦ 10）
ろうそく問題
長さ 20cm のろうそくが毎分 0.5cm 燃える。x 分後の長さ y は？
y = −0.5x + 20（減るので負の傾き）
完全に燃え尽きる：0 = −0.5x + 20 → x = 40 分
変域：0 ≦ x ≦ 40
応用問題を解く手順
- 問題の中の 変化する量を x、y として置く
- 初期値（x = 0 のときの y）を見つける → b
- 変化率（x 単位あたりの y の変化）を見つける → a
- y = ax + b の式を作る
- 問題が求めているものを 代入または 方程式で求める
- 変域（x の範囲）をチェック
- 動点問題では 動く範囲（時間の上限）が決まっている
- 例：水を入れる時間は満タンまで → x ≦ ある値
- 料金プランでは x ≧ 0
- 必ず 変域もチェック
- 水を抜く、ろうそくが燃える、温度が下がる → 傾きが負
- × ろうそくの長さ y = 0.5x + 20（増えると勘違い）
- ○ ろうそくの長さ y = −0.5x + 20
- 増減を文章でしっかり読む
- 時間が「分」なら、速さも「m/分」「L/分」に統一
- × 速さが「m/秒」、時間が「分」のままで計算
- 必要なら掛けて単位を変える
練習問題
20L の水が入った水槽に、毎分2Lずつ水を入れる。x 分後の水量 y を式で表し、60L になる時間を求めよ。
答えを見る
y = 2x + 20。
60 = 2x + 20 → 2x = 40 → x = 20 分
プランA：基本料 500円 + 1回 50円。プランB：基本料 1500円 + 1回 30円。何回以上ならBが得？
答えを見る
A：y = 50x + 500、B：y = 30x + 1500
50x + 500 = 30x + 1500 → 20x = 1000 → x = 50
50回で同額。回数が整数なら、51回以上で B が得
長さ 30cm のろうそくが毎分 0.6cm 燃える。x 分後の長さ y の式を求め、長さが半分（15cm）になる時間を求めよ。
答えを見る
y = −0.6x + 30
15 = −0.6x + 30 → 0.6x = 15 → x = 25 分
底辺 8cm、高さ 6cm の三角形 ABC。動点 P が B から底辺上を秒速 1cm で進む。x 秒後の三角形 ABP の面積 y を式で表せ（変域も）。
答えを見る
BP = x、高さ 6cm のまま
y = (1/2) × x × 6 = 3x
変域：0 ≦ x ≦ 8
まとめ
- 一次関数は 現実の変化を表せる強力なツール。
- パターン：y = (変化率) × x + (初期値)。
- 増えるなら傾き正、減るなら負。
- 料金比較：直線の 交点で「どちらが得」が分かる。
- 動点・水量・温度・ろうそく・面積 など、応用範囲が広い。
- 必ず 変域（x の範囲）も意識。