連立方程式とグラフ ── 2直線の交点｜中2数学

図でつかむ

図1：連立方程式の解は2直線の交点

この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。

2元連立方程式 = 2直線の交点

公式

連立方程式とグラフの関係

2元1次連立方程式の解は、それぞれの式が表す直線の 交点の座標。
逆に、2直線の交点を求めるには連立方程式を解けばよい。

なぜそうなるのか

理由

1つの2元1次方程式 → グラフは 1本の直線（その式を満たす全 (x, y) の集まり）

2つの式を 同時に満たす (x, y) → 両方の直線の上にある (x, y)

→ それは2直線の交点

→ 交点の座標 = 連立方程式の解

交点を求める ── 連立方程式を解く

例1：y = 2x + 1 と y = −x + 4 の交点

2直線の交点を求める = 連立方程式を解く

y を等しいと置く（どちらも y）

2x + 1 = −x + 4

3x = 3 → x = 1

y = 2·1 + 1 = 3

→ 交点 (1, 3)

例2：3x + 2y = 12 と x − y = 1 の交点

代入法：x = y + 1 を 1式目に代入

3(y + 1) + 2y = 12 → 5y = 9 → y = 9/5

x = 9/5 + 1 = 14/5

→ 交点 (14/5, 9/5)

3つのケース ── 解の数

条件	幾何（グラフ）	代数（解）
傾きが違う	交点 1 つ	解は 1 組
傾きが同じ、切片が違う	平行（交点なし）	解なし
傾きも切片も同じ	2直線が一致	解は無数

ケース① 1つの解（普通）

例3：{ y = x + 3、y = 2x }

傾きが異なる（1 と 2）→ 交点1つ

2x = x + 3 → x = 3、y = 6

→ 交点 (3, 6)

ケース② 解なし（平行）

例4：{ y = 2x + 1、y = 2x + 3 }

傾き 2 が同じだが切片が違う → 2直線は平行

→ 交点なし

→ 連立方程式の 解なし

代数的に確認：2x + 1 = 2x + 3 → 1 = 3（矛盾）

→ 解が存在しない

ケース③ 無数の解（一致）

例5：{ y = 2x + 1、2y = 4x + 2 }

2式目を2で割ると：y = 2x + 1（1式目と同じ）

→ 同じ直線

→ 直線上の すべての点が解

→ 無数の解（解は y = 2x + 1 上のすべての (x, y)）

グラフから連立方程式の解を読む

グラフで読み取る

2直線が描いてあるグラフから、交点の座標を読む

交点が (2, 5) なら、連立方程式の解は x = 2, y = 5

グラフが正確でないと座標が読みにくいので、代数的に解くほうが正確

2直線の平行条件・一致条件

条件のまとめ

2直線が平行 ⇔ 傾きが同じで切片が違う

　例：y = 2x + 1 と y = 2x + 3

2直線が一致 ⇔ 傾きも切片も同じ

　例：y = 2x + 1 と 2y = 4x + 2

2直線が交わる ⇔ 傾きが異なる

　例：y = 2x + 1 と y = x + 3

応用 ── ax + by = c の形

y = ax + b に変形してから

問題が ax + by = c の形なら、y について解いて y = ax + b の形に

例：3x + 2y = 6 → y = −(3/2)x + 3

傾き −3/2、切片 3

こうしてからグラフを描く

つまずきポイント①：グラフと代数の対応

連立方程式の問題：解けるかどうかを グラフで確認すると理解が深まる
交点を求める = 連立方程式を解く（代数）
逆も真：連立を解く = 交点を求める（幾何）
2直線が平行なら解なし、一致なら無数

つまずきポイント②：解なしの場合の対応

連立を解いたとき「1 = 3」のような矛盾が出たら、解なし（平行）
「0 = 0」のような恒等式が出たら、解は無数（一致）
「x = 1」のように1つの値が出たら、通常の1組の解

つまずきポイント③：式の形の統一

2式の形がバラバラ → 統一して比較
×　y = 2x + 1 と 2y − 4x = 2 を別物と思う
○　後者を整理：2y = 4x + 2、y = 2x + 1 → 前者と同じ

練習問題

問題1（交点）

y = x + 3 と y = 2x の交点を求めよ。
y = −x + 4 と y = 2x − 2 の交点を求めよ。

答えを見る

(1) 2x = x + 3 → x = 3、y = 6 → (3, 6)

(2) 2x − 2 = −x + 4 → 3x = 6 → x = 2、y = 2 → (2, 2)

問題2（平行判定）

次の2直線は平行か、交わるか、一致するか答えよ。

y = 3x + 1 と y = 3x + 5
y = 2x + 4 と y = −2x + 4
y = x + 2 と 2y = 2x + 4

答えを見る

(1) 傾き 3 が同じで切片が違う → 平行（解なし）

(2) 傾きが異なる（2 と −2）→ 交わる

(3) 2y = 2x + 4 → y = x + 2 → 1式と同じ → 一致（無数の解）

問題3（連立で交点）

2x + y = 5 と x − y = 1 の2直線の交点を求めよ。

答えを見る

足す：3x = 6 → x = 2、y = 1 → (2, 1)

問題4（解の判定）

{ 2x − y = 3、4x − 2y = 8 } の解はどうなるか。

答えを見る

2式÷2：2x − y = 4。1式 2x − y = 3 と矛盾 → 解なし（2直線は平行）

まとめ

連立方程式の解 = 2直線の 交点の座標。
3パターン：
　・1つの解（傾き異なる）
　・解なし（平行）
　・無数の解（一致）
代数と幾何の 架け橋。
連立で矛盾 → 解なし、恒等式 → 無数の解。