図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
式を求めるための情報
- y = ax + b は 2つの未知数（a と b）を持つ
- → 式を決めるためには 2つの情報が必要
- パターン1：傾き a + 1点
- パターン2：2点（2点から a を出して、1点で b を出す）
- パターン3：グラフから読み取る
- パターン4：表から読み取る
パターン1：傾き a と 1点が分かる
y = 3x + b に (2, 5) を代入
5 = 3·2 + b
5 = 6 + b → b = −1
→ y = 3x − 1
y = −2x + b に (1, 3) を代入
3 = −2 + b → b = 5
→ y = −2x + 5
y = (1/2)x + b に (4, 3) を代入
3 = 2 + b → b = 1
→ y = (1/2)x + 1
パターン2：2点が分かる
① 傾き：a = (7−3)/(3−1) = 4/2 = 2
② y = 2x + b に (1, 3) を代入：3 = 2 + b → b = 1
→ y = 2x + 1
確認：x = 3 のとき y = 7 ✓
傾き：a = (−4−2)/(2−(−1)) = −6/3 = −2
y = −2x + b に (−1, 2) 代入：2 = 2 + b → b = 0
→ y = −2x
(0, 5) を通る → 切片 b = 5（x = 0 のとき y = b）
傾き：(11 − 5)/(3 − 0) = 6/3 = 2
→ y = 2x + 5
パターン3：グラフから読み取る
① y 軸との交点から切片 b を読む
② 通る 別の点から傾き a を計算
・「右に1動くと上下にいくつ動くか」を見る
③ y = ax + b の形に書く
切片 b = −2（y 軸との交点）
傾き a = (4 − (−2))/(3 − 0) = 6/3 = 2
→ y = 2x − 2
連立方程式で求める方法
y = ax + b に (2, 7) → 7 = 2a + b …①
y = ax + b に (4, 11) → 11 = 4a + b …②
② − ①：4 = 2a → a = 2
a = 2 を①に代入：7 = 4 + b → b = 3
→ y = 2x + 3
どちらの方法でもOK。2点問題で頻出。
パターン4：表から読み取る
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 7 | 9 | 11 |
x が1増えると y が2増える → 傾き a = 2
(1, 5) を代入：5 = 2 + b → b = 3
→ y = 2x + 3
1点が x 軸・y 軸切片の場合
x 軸切片 (−2, 0) → y = 0 のときの x
y 軸切片 (0, b) → x = 0 のときの y = 切片 b
例：y 軸切片 (0, 3) と 別点 (2, 7) を通る
→ 切片 b = 3、傾き = (7 − 3)/2 = 2
→ y = 2x + 3
- 2点 (x₁, y₁), (x₂, y₂) の傾き = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
- 「y の差」を「x の差」で割る
- マイナスのときも符号付きで計算
- × (x₂ − x₁) / (y₂ − y₁) (分母分子を逆にしない)
- 順序：必ず後の点 − 前の点
- 切片は 数値 b（y軸上の点のy座標）
- (0, b) は座標で、b はその y 座標
- 「切片 5」と「(0, 5) を通る」は同じこと
- 傾きが分数（1/2 など）でもOK
- 2点 (0, 1) と (2, 2) → 傾き = 1/2
- 分数になることを避けず、ありのまま書く
練習問題
次の条件を満たす一次関数の式を求めよ。
- 傾き 2、点 (3, 8) を通る
- 傾き −1、点 (2, 1) を通る
- 傾き 1/3、点 (6, 5) を通る
答えを見る
(1) 8 = 2·3 + b → b = 2 → y = 2x + 2
(2) 1 = −2 + b → b = 3 → y = −x + 3
(3) 5 = 2 + b → b = 3 → y = (1/3)x + 3
- (0, 5) と (3, 11) を通る
- (1, 2) と (4, 11) を通る
- (−2, 1) と (3, 11) を通る
答えを見る
(1) 切片 5、傾き 2 → y = 2x + 5
(2) 傾き = 9/3 = 3、b = 2 − 3 = −1 → y = 3x − 1
(3) 傾き = 10/5 = 2、b = 1 + 4 = 5 → y = 2x + 5
(1, 4) と (5, 16) を通る一次関数を、連立方程式で求めよ。
答えを見る
4 = a + b、16 = 5a + b
引く：12 = 4a → a = 3、b = 1
→ y = 3x + 1
次の表に表される一次関数の式を求めよ。
x: 0, 1, 2, 3
y: 4, 1, −2, −5
答えを見る
x が1増えると y が3減る → a = −3
切片：x = 0 のとき y = 4 → b = 4
→ y = −3x + 4
まとめ
- 傾き a と1点 → b を 代入で求める。
- 2点 → 傾き a を計算 → b を代入で求める。
- 2点なら 連立方程式で a, b を同時に求めることもできる。
- グラフから：y軸切片から b、別点から a。
- 表から：x が1増えるごとの y の変化が a、x = 0 のときの y が b。
- 傾きの公式：(y の差) / (x の差)、必ず順番を揃える。