図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
三角形の内角の和（中2でちゃんと証明）
これは小学校から知っているが、中2で 証明する。
三角形 ABC で、頂点 A を通り BC に平行な直線を引く
→ BC との錯角で、A の左右に B の角と C の角が現れる
→ A の周りで「B の角 + A の内角 + C の角 = 直線（180°）」
→ 内角の和 = 180°
この証明は中2のスタンダード。平行線の性質が活躍する好例。
n 角形の内角の和
n 角形を1つの頂点から対角線で (n−2) 個の三角形に分けられる
→ 内角の和 = 180° × (n − 2)
例：四角形 = 1つの頂点から1本の対角線で2つの三角形 → 180°×2 = 360°
例：五角形 = 3つの三角形 → 180°×3 = 540°
例：六角形 = 4つの三角形 → 180°×4 = 720°
例：八角形 = 6つの三角形 → 180°×6 = 1080°
主な多角形の内角の和
| 多角形 | n | 内角の和 |
|---|---|---|
| 三角形 | 3 | 180° |
| 四角形 | 4 | 360° |
| 五角形 | 5 | 540° |
| 六角形 | 6 | 720° |
| 七角形 | 7 | 900° |
| 八角形 | 8 | 1080° |
| 十角形 | 10 | 1440° |
| 十二角形 | 12 | 1800° |
外角の和（驚きの定理）
n が変わっても一定。
各頂点で「内角 + 外角 = 180°」（直線になるから）
n 個の頂点 → 内角＋外角 = 180° × n
外角の和 = 180n − (内角の和) = 180n − (n−2)·180
= 180n − 180n + 360 = 360°
→ n に関係なく 360°！
直感：多角形のまわりを一周すれば、向きは 360° 回転する
内角と外角の関係
内角 + 外角 = 180°（直線上だから）
外角 = 180° − 内角
内角 = 180° − 外角
どちらか一方が分かれば、もう一方も分かる
正多角形の1つの角
1つの内角 = (n − 2) × 180° / n
1つの外角 = 360° / n
| 正多角形 | 1つの内角 | 1つの外角 |
|---|---|---|
| 正三角形 | 60° | 120° |
| 正方形 | 90° | 90° |
| 正五角形 | 108° | 72° |
| 正六角形 | 120° | 60° |
| 正八角形 | 135° | 45° |
| 正十角形 | 144° | 36° |
| 正十二角形 | 150° | 30° |
内角の和：(6−2)×180 = 720°
1つの内角：720/6 = 120°
1つの外角：360/6 = 60°
確認：120 + 60 = 180° ✓
応用 ── 外角を使うと速い
「1つの外角が 40° の正多角形は何角形か？」
→ 360° ÷ 40° = 9 → 正九角形
外角の和は常に 360° なので、1つの外角で割れば n が出る
→ 内角から考えるより、外角から考えるほうが速い
- 内角 + 外角 = 180°（直線になるから）
- 1つの外角 = 180° − 1つの内角
- 外角は多角形の 外側に開く角
- 内角の方が大きいことが多い（特に多角形では）
- × n 角形の外角の和は n × 何度
- ○ n に関係なく 360°
- 三角形でも、十角形でも、百角形でも外角の和は 360°
- 正多角形：辺の長さも角の大きさもすべて等しい
- 一般の多角形（不規則）でも内角の和 = (n−2)×180° は成立
- 「1つの内角」を計算できるのは 正多角形だけ
練習問題
- 八角形の内角の和
- 十二角形の内角の和
- 百角形の内角の和
答えを見る
(1) (8−2)×180 = 1080°
(2) (12−2)×180 = 1800°
(3) (100−2)×180 = 17640°
- 正八角形の1つの内角
- 正九角形の1つの外角
- 正十五角形の1つの内角
答えを見る
(1) (8−2)×180/8 = 135°
(2) 360/9 = 40°
(3) (15−2)×180/15 = 156°
1つの外角が 24° の正多角形は何角形か。
答えを見る
360 ÷ 24 = 15 → 正十五角形
1つの内角が 144° の正多角形は何角形か。
答えを見る
1つの外角 = 180 − 144 = 36°
360 ÷ 36 = 10 → 正十角形
まとめ
- 三角形の内角の和：180°。
- n 角形の内角の和：(n − 2) × 180°。
- 外角の和：常に 360°（n に依らない）。
- 内角 + 外角 = 180°。
- 正 n 角形：1内角 = 180°(n−2)/n、1外角 = 360°/n。
- 「n を求める」問題は外角を使うと速い：n = 360 ÷ 外角。