図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
三角形の内角の和（中2でちゃんと証明）
これは小学校から知っているが、中2で 証明する。
三角形 ABC で、頂点 A を通り BC に平行な直線を引く
→ BC との錯角で、A の左右に B の角と C の角が現れる
→ A の周りで「B の角 + A の内角 + C の角 = 直線（180°）」
→ 内角の和 = 180°
この証明は中2のスタンダード。平行線の性質が活躍する好例。
n 角形の内角の和
n 角形を1つの頂点から対角線で (n−2) 個の三角形に分けられる
→ 内角の和 = 180° × (n − 2)
例：四角形 = 1つの頂点から1本の対角線で2つの三角形 → 180°×2 = 360°
例：五角形 = 3つの三角形 → 180°×3 = 540°
例：六角形 = 4つの三角形 → 180°×4 = 720°
例：八角形 = 6つの三角形 → 180°×6 = 1080°
主な多角形の内角の和
| 多角形 | n | 内角の和 |
|---|---|---|
| 三角形 | 3 | 180° |
| 四角形 | 4 | 360° |
| 五角形 | 5 | 540° |
| 六角形 | 6 | 720° |
| 七角形 | 7 | 900° |
| 八角形 | 8 | 1080° |
| 十角形 | 10 | 1440° |
| 十二角形 | 12 | 1800° |
外角の和（驚きの定理）
n が変わっても一定。
各頂点で「内角 + 外角 = 180°」（直線になるから）
n 個の頂点 → 内角＋外角 = 180° × n
外角の和 = 180n − (内角の和) = 180n − (n−2)·180
= 180n − 180n + 360 = 360°
→ n に関係なく 360°！
直感：多角形のまわりを一周すれば、向きは 360° 回転する
内角と外角の関係
内角 + 外角 = 180°（直線上だから）
外角 = 180° − 内角
内角 = 180° − 外角
どちらか一方が分かれば、もう一方も分かる
辺BCをCの先へのばした点をDとすると、∠ACDが頂点Cの外角
三角形の内角の和より ∠A + ∠B + ∠C = 180°
直線BD上だから ∠ACD + ∠C = 180°
どちらも180°なので ∠A + ∠B + ∠C = ∠ACD + ∠C
両辺から∠Cを引くと ∠A + ∠B = ∠ACD（頂点Cの外角）
→ 外角 ＝ となり合わない2つの内角（∠Aと∠B）の和
正多角形の1つの角
1つの内角 = (n − 2) × 180° / n
1つの外角 = 360° / n
| 正多角形 | 1つの内角 | 1つの外角 |
|---|---|---|
| 正三角形 | 60° | 120° |
| 正方形 | 90° | 90° |
| 正五角形 | 108° | 72° |
| 正六角形 | 120° | 60° |
| 正八角形 | 135° | 45° |
| 正十角形 | 144° | 36° |
| 正十二角形 | 150° | 30° |
内角の和：(6−2)×180 = 720°
1つの内角：720/6 = 120°
1つの外角：360/6 = 60°
確認：120 + 60 = 180° ✓
応用 ── 外角を使うと速い
「1つの外角が 40° の正多角形は何角形か？」
→ 360° ÷ 40° = 9 → 正九角形
外角の和は常に 360° なので、1つの外角で割れば n が出る
→ 内角から考えるより、外角から考えるほうが速い
- 内角 + 外角 = 180°（直線になるから）
- 1つの外角 = 180° − 1つの内角
- 外角は多角形の 外側に開く角
- 内角の方が大きいことが多い（特に多角形では）
- × n 角形の外角の和は n × 何度
- ○ n に関係なく 360°
- 三角形でも、十角形でも、百角形でも外角の和は 360°
- 正多角形：辺の長さも角の大きさもすべて等しい
- 一般の多角形（不規則）でも内角の和 = (n−2)×180° は成立
- 「1つの内角」を計算できるのは 正多角形だけ
この章でつまずきやすいところ
多角形の角は公式を覚えていても、本文を読んでいる途中で「あれ、これ正多角形だっけ？」「外角ってどっち向き？」と手が止まりやすい単元です。途中で迷いやすい4場面を取り上げ、見分け方を整理します。
内角の和を180°×nと書き出してしまう
- つまずく場面：n角形の内角の和を求めようとして、頂点がn個あるから「180°×n」と式を立てかける。しかし六角形なら720°のはずなのに1080°になってしまい、本文の表と合わずに手が止まる。
- 克服のコツ：因果関係で押さえる。1つの頂点から対角線を引くと三角形はn個ではなく(n−2)個できる。三角形2つ分が削れる理由は、対角線を引く頂点自身とその両隣には対角線が引けないから。だから式は180°×(n−2)になる。
- ミニ例：六角形は1つの頂点から対角線で4個の三角形に分かれるので、180°×4=720°。「6×180=1080」と書きそうになったら、まず三角形の個数を図で数え直す。
外角の和をnの式で出そうとしてしまう
- つまずく場面：「内角の和が(n−2)×180°なら、外角の和もnで変わるはず」と思い込み、十角形の外角の和を計算しようとして式が立たない。本文の「常に360°」を読み飛ばしている状態。
- 克服のコツ：見分け方として「多角形のまわりを一周したら向きは360°回る」と覚える。各頂点で内角+外角=180°、頂点n個分の合計180°nから内角の和(n−2)×180°を引くと、nが消えて360°だけが残る。だから三角形でも百角形でも外角の和は360°。
- ミニ例：三角形の外角の和：180°×3−180°=360°。十角形の外角の和：180°×10−180°×8=360°。どちらもnに関係なく360°になることを式で確かめる。
「多角形」と「正多角形」を同じ扱いにしてしまう
- つまずく場面：問題文に「ある四角形の1つの内角を求めよ」とあって、内角の和360°を4で割って「90°」と答えそうになる。本文の「1つの内角を計算できるのは正多角形だけ」を見落としている場面。
- 克服のコツ：見分け方として、問題文に「正」がついているか、または「すべての辺・角が等しい」と書かれているかをまず確認する。書かれていなければ各内角は等しいとは限らず、内角の和を割って1つの角を出すのは不可。割り算ができるのは等しい条件があるとき限定。
- ミニ例：正方形の1つの内角は360÷4=90°と出せるが、ただの四角形では同じ計算はできない。教科書では「正n角形はすべての辺・角が等しい」と定義してから1つの角の式を導いている。
「正何角形か」をn角形の内角の和から逆算しようとしてしまう
- つまずく場面：「1つの内角が144°の正多角形は何角形か」という問題で、(n−2)×180°/n=144 を立てて分母を払い…と式変形に入った瞬間、計算が長くなって手が止まる。
- 克服のコツ：因果関係として、外角の和は常に360°で正多角形なら1つの外角=360°÷n。だからnを求めるときは外角を使うほうが速い。内角から外角に直すには180°−内角。あとは360°を外角で割ればnが出る。
- ミニ例：1つの内角144°なら、外角=180°−144°=36°。n=360°÷36°=10で正十角形。1つの外角40°なら360°÷40°=9で正九角形と、同じ流れで一気に出せる。
練習問題
- 八角形の内角の和
- 十二角形の内角の和
- 百角形の内角の和
答えを見る
(1) (8−2)×180 = 1080°
(2) (12−2)×180 = 1800°
(3) (100−2)×180 = 17640°
- 正八角形の1つの内角
- 正九角形の1つの外角
- 正十五角形の1つの内角
答えを見る
(1) (8−2)×180/8 = 135°
(2) 360/9 = 40°
(3) (15−2)×180/15 = 156°
1つの外角が 24° の正多角形は何角形か。
答えを見る
360 ÷ 24 = 15 → 正十五角形
1つの内角が 144° の正多角形は何角形か。
答えを見る
1つの外角 = 180 − 144 = 36°
360 ÷ 36 = 10 → 正十角形
まとめ
- 三角形の内角の和：180°。
- n 角形の内角の和：(n − 2) × 180°。
- 外角の和：常に 360°（n に依らない）。
- 内角 + 外角 = 180°。
- 三角形の外角 ＝ となり合わない残り2つの内角の和。
- 正 n 角形：1内角 = 180°(n−2)/n、1外角 = 360°/n。
- 「n を求める」問題は外角を使うと速い：n = 360 ÷ 外角。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
ミツバチの巣はなぜ正六角形？実生活
ミツバチの巣は、正六角形の部屋がすき間なく並んだ「ハニカム構造」でできています。神戸大学などの研究チームは、ハチがミツロウを付けたり削ったりする単純な動きだけで、この精密な六角形構造が自然にできあがることをシミュレーションで示しました。正六角形は1つの内角が120°で、3つ集めるとちょうど360°になるため、すき間なく敷き詰められるのです。
出典：神戸大学ニュースサイト
正多角形だけで床を敷き詰められるのは3種類だけ発展
1種類の正多角形だけですき間なく平面を敷き詰められるのは、正三角形・正方形・正六角形の3種類しかありません。1つの頂点に集まる角の和は360°でなければならず、内角が360°の約数になるのは60°(正三角形)・90°(正方形)・120°(正六角形)だけだからです。正五角形(108°)では3つで324°、4つで432°となり、ぴったり360°にならないので敷き詰められません。
サッカーボールにかくれた五角形と六角形実生活
白黒のサッカーボールは、正五角形12枚と正六角形20枚を組み合わせた「切頂二十面体」という立体に空気を入れてふくらませた形です。頂点は60個、辺は90本あります。正多角形の角の性質を使うと、こうした立体の面がどんな角で組み合わさっているかを考えることができます。
ガウスが見つけた正十七角形の作図発展
正三角形や正六角形は定規とコンパスで作図できますが、正七角形などは作図できません。1796年、19歳だったガウスは、正十七角形が定規とコンパスだけで作図できることを発見しました。正n角形が作図できる条件は数学的にはっきり決まっていて、この発見はガウスが数学者を志すきっかけになったと言われています。
出典：現代ビジネス(講談社)
一時停止の標識に使われる多角形実生活
1968年に調印された「道路標識及び信号に関するウィーン条約」では、一時停止の標識として八角形(正八角形)と、円の中に逆三角形を入れた形の2種類が採択されました。海外では八角形の「STOP」標識が多く使われ、日本の「止まれ」は逆三角形です。同じ役割の標識でも、国によって採用される多角形の形がちがうのです。