三角形の合同条件 ── 3つの条件

合同：形も大きさも完全に同じ（コピー）

相似：形は同じだが大きさが違う（拡大/縮小、中3で学ぶ）

合同 → 「対応する辺の長さも角の大きさもすべて等しい」

2三角形で、3組の辺の長さがそれぞれ等しい

例：△ABC で AB=5, BC=7, CA=6

　 △DEF で DE=5, EF=7, FD=6

→ 3辺すべて等しい → △ABC ≡ △DEF

直感：3辺の長さが決まれば、三角形の形は一意に決まる

2組の辺と、その 間の角（はさむ角）が等しい

例：AB=5, BC=7, ∠B=60°

　 DE=5, EF=7, ∠E=60°

→ 「2辺挟角」が等しい → 合同

注意：はさむ角でないとダメ（2辺の外の角ではNG）

1組の辺と、その辺の 両端の角が等しい

例：AB=5, ∠A=60°, ∠B=70°

　 DE=5, ∠D=60°, ∠E=70°

→ 「1辺両端角」が等しい → 合同

残りの角は 180−60−70 = 50° で自動的に決まる

3組の角が等しい（AAA）→ 形は同じ（相似）だが大きさが違う可能性あり → 合同とは限らない

2辺と1辺の外の角（SSA）→ 2つの三角形が描けるパターンがあり、合同とは限らない

→ 中2では SSS、SAS、ASA の3つを使う

△ABC と △DEF において、

① （等しい辺や角の根拠1）　→　AB = DE （等しい）

② （等しい辺や角の根拠2）　→　BC = EF （等しい）

③ （等しい辺や角の根拠3）　→　∠B = ∠E （等しい）

①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

よって △ABC ≡ △DEF　（証明終）

△ABC ≡ △DEF が分かれば、対応する すべての辺・角が等しいと言える

→ AB = DE、BC = EF、CA = FD（辺）

→ ∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠F（角）

合同を証明 → 必要な辺・角の関係をすべて引き出せる

合同を書くときは 対応する頂点の順に並べる

○　△ABC ≡ △DEF（A↔D, B↔E, C↔F）

×　△ABC ≡ △EFD（順序が違うので対応不明）

対応関係を明確にするため、頂点の順序は重要

AB = AC の二等辺三角形 ABC で、A から BC に垂線を下ろし足を H とする

△ABH と △ACH を比較

① AB = AC（仮定）

② AH 共通

③ ∠AHB = ∠AHC = 90°（垂線）

→ 直角三角形の合同条件「斜辺と他の1辺」（このあと詳しく扱う）

または、別の方法で証明