図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
証明とは何か
「なんとなく成り立つ」ではなく、「必ず成り立つ理由」を文章で示す。
仮定と結論
仮定：問題で「与えられている条件」（「〜とする」「〜のとき」）
結論：問題で「示したいこと」（「〜を証明せよ」）
例：「AB = AC のとき、△ABC が二等辺三角形であることを証明せよ」
仮定：AB = AC
結論：△ABC は二等辺三角形
証明の流れ
- 合同を示したい2つの三角形を明示（△ABC と △DEF において）
- 等しい 辺・角を3つ挙げる
- それぞれに 理由を書く（仮定／共通／対頂角／平行線の同位角・錯角など）
- 合同条件のどれを使ったか書く
- 合同と結論（よって △ABC ≡ △DEF）
標準フォーマット
[証明] △ABC と △DEF において、
① AB = DE（理由）
② BC = EF（理由）
③ ∠B = ∠E（理由）
①、②、③ より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって △ABC ≡ △DEF （証明終）
「等しい理由」のパターン（重要）
| 理由 | 意味 |
|---|---|
| 仮定 | 問題文で与えられた条件 |
| 共通 | 両方の三角形に共通する辺・角（同じ辺がある） |
| 対頂角 | 2直線が交わってできる向かい合う角 |
| 平行線の同位角 | 2直線が平行のとき、同位角が等しい |
| 平行線の錯角 | 2直線が平行のとき、錯角が等しい |
| 正三角形の性質 | 3辺、3角がすべて等しい |
| 二等辺三角形の性質 | 2辺、底角が等しい |
| 中点の定義 | 中点が分ける2辺は等しい |
| 角の二等分線 | 2分される角は等しい |
| 垂直 | 90°の角 |
具体例1 ── 二等辺三角形の対称性
[証明] △ABD と △ACD において、
① AB = AC（仮定）
② BD = CD（D は BC の 中点）
③ AD = AD（共通）
①、②、③ より、3組の辺がそれぞれ等しい
よって △ABD ≡ △ACD （証明終）
具体例2 ── 平行四辺形の性質
[証明] △ABC と △CDA において、
① AB = CD（仮定）
② AC = CA（共通）
③ ∠BAC = ∠DCA（平行線の錯角、AB // CD）
①、②、③ より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって △ABC ≡ △CDA （証明終）
具体例3 ── 対頂角の利用
△AOC ≡ △BOD を示す
[証明] △AOC と △BOD において、
① OA = OB（仮定）
② OC = OD（仮定）
③ ∠AOC = ∠BOD（対頂角）
①、②、③ より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって △AOC ≡ △BOD
合同を示した後の利用
合同が示せると、対応する 残りの辺・角もすべて等しい
例：△ABD ≡ △ACD なら、∠B = ∠C、AB = AC が言える
→ これを使って二等辺三角形の底角の性質を証明できる
問題文で「○○ を示せ」と言われていたら、合同を示した後に
「△ABD ≡ △ACD より、〜 = 〜」と書いて結論につなぐ
証明を書くコツ
- 図にマークをつける：等しい辺・角に印を入れて視覚化
- 仮定をすべて使うか確認
- 結論から逆算：「合同を示したい → どの2三角形？」を考える
- 3つの根拠（辺・辺・辺 or 辺・角・辺 or 角・辺・角）を揃える
- 必ず合同条件の 名前を書く（採点ポイント）
- 「AB = DE」だけでなく、「仮定」「共通」など 理由を必ず書く
- × AB = DE → △ABC ≡ △DEF
- ○ AB = DE（仮定）
- 採点で「理由がない」と減点される
- 「3組の辺がそれぞれ等しい」
- 「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」
- 「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」
- これらを 正確に書く（略してはダメ）
- △ABC ≡ △DEF と書くときは 対応する頂点の順
- A→D、B→E、C→F
- 順序を間違えると、対応する辺・角が違ってしまう
- 頂点の位置をしっかり確認
練習問題
四角形 ABCD で AB // CD、AB = CD のとき、△ABC ≡ △CDA であることを証明せよ。
答えを見る
[証明] △ABC と △CDA において、
① AB = CD（仮定）
② AC = CA（共通）
③ ∠BAC = ∠DCA（平行線 AB // CD の錯角）
①、②、③ より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって △ABC ≡ △CDA
線分 AB の中点を M とし、M を通る直線が AB に垂直で、その上に点 P をとる。△AMP ≡ △BMP を証明せよ。
答えを見る
[証明] △AMP と △BMP において、
① AM = BM（M は中点）
② MP = MP（共通）
③ ∠AMP = ∠BMP = 90°（仮定：垂直）
①、②、③ より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって △AMP ≡ △BMP
正三角形 ABC で、辺 AB、AC 上に AD = AE となる点 D、E をとる。△ADE が正三角形になることを示すには、まず何を示せばよいか。
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△ADE が AD = AE = DE で 3辺等しいことを示す。AD = AE は仮定、DE = AD を示すには △ABD ≡ △AEC を示してから、対応する辺で DE と AD が等しいことを引き出すのが一つの道筋（実際は別の方法も）。
「2辺と1角が等しければ三角形は合同である」という命題の仮定と結論を答えよ。
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仮定：2辺と1角が等しい
結論：三角形が合同である
※ ただしこの命題は 偽（1角が外の角だと合同とは限らない）
まとめ
- 証明の基本：仮定 → 等しい関係を3つ → 合同条件 → 結論。
- 等しい理由：仮定・共通・対頂角・平行線の同位角／錯角 など。
- 必ず合同条件の 名前を書く。
- 頂点の対応の順序を間違えない（△ABC ≡ △DEF）。
- 合同を示したあとは、対応する辺・角の等しさを利用。
- 図に印をつけ、論理の流れを整理してから書く。