復習のポイント
- 対頂角は等しい、平行線の同位角・錯角は等しい
- 三角形の内角の和 = 180°、n角形の内角の和 = (n−2)×180°
- 多角形の外角の和 = 常に 360°
- 正n角形の1内角 = (n−2)×180°/n、1外角 = 360°/n
- 三角形の合同条件3つ：3辺／2辺挟角／1辺両端角
- 証明：仮定 → 等しい関係3つ → 合同条件 → 結論
証明問題を解く前の型
- まず図に「仮定でわかっていること」を印で書き込む。平行なら錯角・同位角、二等辺なら底角、合同なら対応順に注目する。
- 結論が「角が等しい」なら、合同や平行線の角から逆算する。結論が「辺が等しい」なら、合同な三角形を探す。
- 証明では、理由のない「見た目で等しい」は使わない。対応する辺・角と根拠を1行ずつ書く。
- 最後は「よって、結論」を問題文と同じ言い方で閉じる。
よくある減点
- 「平行だから角が等しい」とだけ書くと不十分。同位角なのか錯角なのかを明記する。
- 合同条件は3つの条件がそろってから書く。途中で「合同っぽい」と書かない。
この章でつまずきやすいところ
4章の章末問題を解いている途中、図や条件は目の前にあるのに「この角は同位角？錯角？」「合同条件はどれを当てる？」と手が止まる瞬間があります。ここでは、読みながら迷いやすい4つの場面を整理します。
平行が明示されていないのに同位角・錯角を使ってしまう
- つまずく場面：B群の問題で「ℓ∥m」と書かれていない図を見たのに、見た目で平行そうだから同位角や錯角を等しいと書いてしまい、根拠なしの式から先に進めなくなる場面。
- 克服のコツ：見分け方を順序で固定します。①まず仮定や図の記号（矢印マーク）で平行が示されているか確認、②平行が示されているなら同位角・錯角を等しいと使える、③示されていないなら対頂角や三角形の内角の和など別の根拠を探す、という順で迷いを断ち切ります。
- ミニ例：図に「ℓ∥m」の矢印が無いのに錯角を使うのは不可。代わりに対頂角は等しいや三角形の内角の和=180°を根拠に式を立て直す。
頂点の対応順をそろえずに合同条件を書いてしまう
- つまずく場面：C群やD群で「△ABC≡△DEF」と書こうとした途中、図のどの辺とどの辺が対応するかを確かめないまま「AB=EF」などと書き、後から合同条件と結論が噛み合わなくなる場面。
- 克服のコツ：位置関係でそろえます。①合同記号を書く前に、印（同じ印は同じ辺）を両方の三角形に付ける、②印が一致する頂点どうしを同じ順番に並べる、③並べた順のまま「AB=DE」「∠A=∠D」と書く。順序を先に決めると、3組の等しい関係が自動的に揃います。
- ミニ例：△ABC≡△DEFと書いたならAB=DE、BC=EF、∠A=∠D。AB=EFと書いた時点で対応順が崩れているサイン。
2辺と1角が等しいと書いてあるのを見て、合同条件のどれに当てはめるか手が止まる
- つまずく場面：D群(7)のような問いを読んでいる途中、「2辺と1角が等しい」と書かれているのを見て、3つの合同条件のどれに当てはめればよいか迷い、その角が2辺の間の角なのか外側の角なのかを確かめる前に手が止まってしまう場面。
- 克服のコツ：因果関係で押さえます。①合同条件として有効なのは「2辺とその間の角だけ」、②角が2辺の外側にあると形が一意に決まらず合同を保証できない、③だから問題文を読んだら、その角が2辺に挟まれているかを図の上で指で押さえて確認する、という流れを身につけます。
- ミニ例：AB、AC、∠Aが等しいならOK（2辺とその間の角）。AB、AC、∠Bが等しいだけだとNG（角が辺の外）。
正多角形の内角と外角の式を取り違える
- つまずく場面：A群(2)〜(8)を解いている途中、「内角は(n−2)×180°/n」「外角は360°/n」のどちらを使うか迷い、内角の式に360を入れて答えが合わず手が止まる場面。
- 克服のコツ：外角から先に出します。①まず「外角の和は常に360°」を出発点にする、②正n角形は外角が等しいので、1外角=360°/n、③内角は 180°−外角 で求める。先に外角から考えると、nが分かっていなくても「1外角30°なら12角形」と逆算もしやすくなります。
- ミニ例：正八角形の1外角は360÷8=45°、1内角は180−45=135°。内角の和から求めるなら(8−2)×180=6×180=1080°、1080÷8=135°となり、外角から出した値と一致する。
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A 角度計算（10問）
- 三角形の3角のうち2つが 50° と 70° のとき残りの角
- 正五角形の1つの内角
- 正八角形の1つの内角
- 正十角形の1つの外角
- 十二角形の内角の和
- 多角形の外角の和は
- 正多角形で1つの外角が30°のとき、何角形か
- 正多角形で1つの内角が150°のとき、何角形か
- n 角形の対角線の本数は n(n−3)/2 。八角形では
- 七角形の内角の和
答えを見る
(1) 60°（180−50−70） (2) 108° (3) 135° (4) 36° (5) 1800°
(6) 360°（n に依らない） (7) 12角形（360÷30） (8) 12角形（外角30）
(9) 8×5/2 = 20本 (10) 900°
B 平行線と角（10問）
- 2直線が交わってできる4角の和
- 平行線の同位角の関係
- 平行線の錯角の関係
- 平行線の同側内角の和
- 平行な ℓ ∥ m、同位角の片方が65°、もう一方の同位角
- ℓ ∥ m、錯角の片方が110° のとき、もう一方
- ℓ ∥ m、同側内角の片方が80° のとき、もう一方
- 2直線が交わる4角のうち、対頂角どうしの関係
- 2直線で同位角が等しいとき、2直線は
- 2直線で錯角が等しいとき、2直線は
答えを見る
(1) 360° (2) 等しい (3) 等しい (4) 180°
(5) 65° (6) 110° (7) 100° (8) 等しい
(9) 平行 (10) 平行
C 合同条件（10問）
- 2つの三角形で「3辺がそれぞれ等しい」は合同条件か
- 「2角がそれぞれ等しい」だけで合同と言えるか
- 「1辺と両端の角」の合同条件の名前
- 合同記号は
- 共通辺、共通角の意味
- 平行線の同位角は等しいことを使うのは、平行線の何の性質
- 正三角形の3つの内角はそれぞれ何度
- 二等辺三角形の底角は
- 2辺と挟む角が等しい合同条件は
- 合同な三角形は対応する辺・角が等しいか
答えを見る
(1) はい (2) いいえ（辺がない、合同とは限らない） (3) 1辺両端角 (4) ≡
(5) 両方の図形にまたがる同じ辺／角 (6) 平行線の性質 (7) 60°
(8) 等しい（底角は等しい） (9) 2辺挟角 (10) はい
D 証明・応用（10問）
- 三角形の内角の和 180° の証明には何の性質を使うか
- 多角形の外角の和の証明
- 合同を示した後、結論につなぐには何を使うか
- 「仮定」と「結論」の意味
- 「△ABC ≡ △DEF」のとき AB = ?
- 同じ式の場合、対応する角 ∠A = ?
- 2三角形で「2辺と1角が等しい」は合同条件か
- 正三角形の外角は
- 正六角形の1内角と1外角
- n 角形の内角の和が1440° のとき n
答えを見る
(1) 平行線の錯角の性質
(2) 内角の和 = (n−2)×180°、内角＋外角 = 180°×n、引いて 360°
(3) 対応する辺・角が等しいこと (4) 仮定=与えられた条件、結論=示したいこと
(5) DE (6) ∠D (7) 挟む角ならOK（外の角はNG） (8) 120°
(9) 内角120°、外角60° (10) 10角形（(n−2)·180=1440 → n=10）
テスト前のチェックリスト
- □ 対頂角は等しい
- □ 平行線の同位角・錯角は等しい
- □ 三角形の内角の和 = 180°
- □ n角形の内角の和 = (n−2)×180°
- □ 多角形の外角の和 = 360°
- □ 内角 + 外角 = 180°
- □ 三角形の合同条件3つ（3辺・2辺挟角・1辺両端角）
- □ 証明の標準フォーマット
- □ 頂点の対応順序（△ABC ≡ △DEF → A=D, B=E, C=F）
つまずきポイントの再確認
- 3角だけ等しい → 合同とは限らない（形は同じだが大きさが違う、相似）
- 2辺と外の角（SSA）も合同を保証しない
- 正多角形の外角：n が分かれば 360÷n ですぐ求まる
- 多角形の外角の和は n に依らない 360°