図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
証明とは
「なんとなく正しそう」ではなく、「絶対に正しい」を文章で示す作業。
仮定と結論
- 仮定：前提として与えられている条件（「〜のとき」「〜ならば」の前）
- 結論：証明したい事柄（「〜である」「〜を示せ」）
- 仮定はスタート、結論はゴール
- 仮定 → 結論 を 論理でつなぐのが証明
問題：「AB = AC ならば、△ABC は二等辺三角形である」
仮定：AB = AC（与えられた条件）
結論：△ABC は二等辺三角形（示したいこと）
問題：「2三角形の3辺がそれぞれ等しいなら、合同」
仮定：3辺がそれぞれ等しい
結論：合同である
「ならば」の前後を見分ける
「○○ ならば △△」→ ○○ が仮定、△△ が結論
「○○ のとき、△△」→ ○○ が仮定、△△ が結論
「○○ である。△△ を示せ」→ ○○ が仮定（与えられた）、△△ が結論
これに従って書き換えて整理する
証明の基本フォーマット
[証明] △ABC と △DEF において、
① AB = DE（理由）
② BC = EF（理由）
③ ∠B = ∠E（理由）
①、②、③ より、（合同条件）
よって △ABC ≡ △DEF （証明終）
合同を示した先に「だから XY = AB」のように結論をつなげることも
使える「理由」のレパートリー
| 理由 | 意味と使い方 |
|---|---|
| 仮定 | 問題で与えられた条件 |
| 共通 | 両方の図形にまたがる同じ辺・角 |
| 対頂角 | 2直線が交わってできる向かい合う角 |
| 平行線の同位角 | 平行線とその横断線でできる同位角 |
| 平行線の錯角 | 同上、Z字型の錯角 |
| 同位角／錯角が等しい → 平行 | 逆方向の利用 |
| 正三角形の性質 | 3辺・3角がすべて等しい |
| 二等辺三角形の性質 | 2辺、底角が等しい |
| 平行四辺形の性質 | 2組の対辺が平行・等しい、対角が等しい |
| 中点の定義 | 分けた2辺が等しい |
| 角の二等分線 | 分けた2角が等しい |
| 垂直 | 90°の角 |
論理の流れの組み立て方
① 結論を見る：「何を示したいか」
② そのためには 何が言えればよいか逆算
例：辺の長さが等しい → 合同を示す
例：角度が等しい → 合同を示す or 平行線の錯角・同位角
③ 合同を示すための 3つの等しさを集める
④ それを仮定や共通から導く
図形証明での記号
≡：合同（合同である）
=：等しい（長さ・角度）
// or ∥：平行
⊥：垂直
△：三角形
∠：角
例：AB ∥ CD（AB と CD は平行）、∠B = ∠E（角B と角E は等しい）
証明の書き方 ── 失敗しがちな例
× 「明らかに合同」「見れば分かる」
× 理由を書かない
× 合同条件の名前を書かない
× 仮定で使う条件を読み落とす
× 頂点の対応の順序を間違える
→ すべて減点ポイント。きちんと書く習慣を。
- 問題文の「ならば」より 前が仮定、後が結論
- 仮定の条件を すべて使っているかチェック
- 「使う仮定がない条件」が出てきたら、解法を再検討
- 「だから等しい」「明らかに合同」だけではダメ
- すべての主張に 根拠をつける
- 「なぜ？」と問われたら答えられる状態にする
- 合同を示しただけでは結論ではない
- 合同 → 対応する辺や角が等しい → 求めたかった結論
- 最後の「よって 〜 が示された」まで書く
練習問題
「2つの三角形で3辺がそれぞれ等しいならば合同である」の仮定と結論を答えよ。
答えを見る
仮定：3辺がそれぞれ等しい
結論：合同である
「ある四角形の対角線が垂直で互いに半分するとき、その四角形はひし形である」の仮定と結論を答えよ。
答えを見る
仮定：対角線が垂直で互いに半分する
結論：その四角形はひし形である
次の理由のうち、合同の証明で使えるものに○、使えないものに×を。
- 共通
- 仮定
- 感覚で同じくらい
- 対頂角
- 明らかに等しい
答えを見る
(1) ○ (2) ○ (3) × (4) ○ (5) ×
（感覚や明らかは数学的根拠ではない）
「ある四角形の2組の対辺が等しいなら、平行四辺形である」を証明するには、どんな手順を取るとよいか。
答えを見る
対角線を引いて2つの三角形に分け、3辺がそれぞれ等しい（合同条件 SSS）を使って合同を示す。合同から錯角が等しいことを引き出し、平行線の判定で「同位角／錯角が等しい → 平行」を使う。
まとめ
- 証明：仮定から結論への 論理的説明。
- 使える理由：仮定・共通・対頂角・平行線の同位角／錯角・図形の性質。
- 標準フォーマットに沿って書く。
- 論理の飛躍をしない、すべての主張に根拠を。
- 頂点の対応順序を守る（△ABC ≡ △DEF）。
- 合同を示したら、結論までつなぐ。