図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
二等辺三角形の定義と用語
等しい2辺を 等辺、残りの辺を 底辺、
底辺の両端の角を 底角、頂点の角を 頂角という。
△ABC で AB = AC のとき
AB と AC が 等辺
BC が 底辺
∠A が 頂角（等辺がはさむ角）
∠B と ∠C が 底角
二等辺三角形の2大性質
① 2つの底角は等しい（∠B = ∠C）
② 頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する
性質①の証明 ── 底角が等しい
[仮定] △ABC で AB = AC（二等辺）
[結論] ∠B = ∠C
[証明] 頂角 A から底辺 BC への 二等分線 AD を引く（角の二等分線）
△ABD と △ACD において、
① AB = AC（仮定）
② ∠BAD = ∠CAD（補助線：角の二等分線の引き方）
③ AD = AD（共通）
①、②、③ より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって △ABD ≡ △ACD
合同なので対応する角は等しい → ∠B = ∠C （証明終）
性質②の証明 ── 頂角の二等分線は底辺を垂直二等分
[仮定] △ABC で AB = AC、AD は ∠A の二等分線
[結論] BD = CD（底辺を二等分）かつ AD ⊥ BC（垂直）
[証明] 上で示した △ABD ≡ △ACD から、対応する辺と角が等しい：
BD = CD（対応辺）→ 底辺を 二等分
∠ADB = ∠ADC（対応角）かつ ∠ADB + ∠ADC = 180°（直線）
→ ∠ADB = ∠ADC = 90° → AD ⊥ BC
よって、頂角の二等分線は底辺を 垂直に二等分する （証明終）
逆も成り立つ（底角が等しい → 二等辺）
つまり「2角が等しい」と分かれば、二等辺三角形と言える。
[仮定] △ABC で ∠B = ∠C
[結論] AB = AC
[証明] A から BC へ垂線 AD（または角の二等分線）を引く
△ABD と △ACD において、
① ∠B = ∠C（仮定）
② ∠ADB = ∠ADC = 90°（垂線）
→ 三角形の内角の和より ∠BAD = ∠CAD
③ AD = AD（共通）
→ 1組の辺と両端の角 → △ABD ≡ △ACD
よって AB = AC（対応する辺）
正三角形 ── 二等辺三角形の特別な場合
- 正三角形：3辺がすべて等しい三角形
- 3角もすべて等しい（60° ずつ）
- 二等辺三角形の 特殊な場合（どの辺を「等辺」と見ても二等辺）
- 逆も成立：3角がすべて等しい → 正三角形
底角・頂角の角度の計算
頂角 ∠A + 底角 ∠B + 底角 ∠C = 180°
∠B = ∠C より、底角 = (180° − 頂角) / 2
逆に、頂角 = 180° − 2 × 底角
例：頂角 50° → 底角 = (180 − 50)/2 = 65°
例：底角 70° → 頂角 = 180 − 140 = 40°
応用 ── 二等辺三角形の対称性
頂角の二等分線 = 底辺の垂直二等分線
→ 二等辺三角形は、この線について 線対称
→ 左右対称な形（鏡映対称）
これが「美しい」と言われる理由
- 等しい2辺の 挟む角が「頂角」
- 底辺の 両端の角が「底角」
- 2つの底角は 等しい、頂角と底角は通常違う
- 図に書き込んで確認
- 二等辺三角形の証明では 頂角の二等分線を引くのが定石
- または「A から BC への垂線」「BC の中点までの線」
- どれでも合同を作れる
- 補助線がないと証明できないので、必ず引く
- 「2辺が等しい」⇔「2角が等しい」（性質と逆の両方が成立）
- 底角が等しいと分かれば、辺の長さが等しいと言える
- 問題に応じて使い分け
練習問題
二等辺三角形 ABC で AB = AC、∠A = 50° のとき ∠B は何度か。
答えを見る
(180 − 50) / 2 = 65°
△ABC で ∠B = ∠C = 70° のとき、∠A は何度か。また、AB と AC の関係は？
答えを見る
∠A = 180 − 70 − 70 = 40°
底角が等しい → AB = AC（二等辺三角形）
正三角形 ABC で、辺 BC 上に点 P をとり、A から P に線を引く。AP が ∠A を二等分しているとき、P は BC のどこにあるか。
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BC の中点。頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分するから。
二等辺三角形 ABC で AB = AC、∠B = 50°。AD を ∠A の二等分線とし、その底辺との交点を D とする。∠ADB は何度か。
答えを見る
頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分するので、∠ADB = 90°
まとめ
- 二等辺三角形：2辺が等しい三角形。
- 性質①：2つの底角は等しい。
- 性質②：頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分。
- 逆：底角が等しい → 二等辺三角形。
- 正三角形は二等辺三角形の特殊な場合（3辺・3角等しい、60°×3）。
- 底角 = (180° − 頂角) / 2、頂角 = 180° − 2×底角。