図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
直角三角形の用語
直角の向かい側の辺を 斜辺（最も長い辺）、残りの2辺を 直角をはさむ辺という。
△ABC で ∠B = 90°（直角は B）
斜辺：AC（直角の向かい側）
直角をはさむ辺：AB と BC
鋭角：∠A と ∠C（残りの2角、90°未満）
直角三角形の合同条件（2つ）
① 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい（RHS）
② 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい（RHA）
このいずれかが言えれば合同。
① 斜辺と他の1辺
直角三角形 ABC で 直角 = B、斜辺 AC = 10、AB = 6
直角三角形 DEF で 直角 = E、斜辺 DF = 10、DE = 6
→ 直角三角形の合同条件①で合同
普通なら 3辺必要だが、直角があるので 2辺でOK
なぜなら、三平方の定理で残りの辺 BC = √(10² − 6²) = 8 が決まる
② 斜辺と1鋭角
直角三角形 ABC で 斜辺 AC = 8、∠A = 30°（直角は B）
直角三角形 DEF で 斜辺 DF = 8、∠D = 30°（直角は E）
→ 合同条件②で合同
直角＋∠A=30° から残りの ∠C = 60° も決まる → 1辺と両端の角と同じ
なぜ少ない条件で合同？
直角三角形は すでに1つの角（90°）が決まっている
→ 通常の合同条件「3角」では足りないが、「直角＋鋭角」 = 2角が決まる
→ さらに辺が1本決まれば形が一意に決まる
普通の三角形より 1つ少ない情報で合同が言える
通常の合同条件との関係
- 直角三角形の合同条件②（斜辺と1鋭角）= 通常の「1辺両端角」と本質的に同じ
- （直角と鋭角の2角が決まり、斜辺は1辺）
- 直角三角形の合同条件①（斜辺と他の1辺）= 三平方の定理（中3）で3辺目が決まる
- 通常の3辺合同に帰着できる
- → 一見特別だが、実は通常の合同条件の特殊な場合
使い分けのコツ
問題に「直角三角形」「∠B = 90°」「⊥」が出てきたら、直角三角形の合同条件が使える可能性
通常の合同条件3つでも証明できるが、直角三角形の合同条件を使うと早い
高校以降は通常の合同条件で統一して使うことが多い
応用例 ── 二等辺三角形の証明（垂線使用）
AB = AC の二等辺三角形 ABC で、A から BC への垂線の足を H とする
△ABH ≡ △ACH を示せ
[証明] △ABH と △ACH で
① ∠AHB = ∠AHC = 90°（垂線）
② AB = AC（仮定）
③ AH = AH（共通）
①、②、③ より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
よって △ABH ≡ △ACH
応用例 ── 角の二等分線の性質
∠AOB の二等分線上の点 P から、OA、OB に垂線 PH、PK を下ろす。
△OHP ≡ △OKP を示せ。
[証明] △OHP と △OKP で
① ∠OHP = ∠OKP = 90°（垂線）
② OP = OP（共通、斜辺）
③ ∠HOP = ∠KOP（角の二等分線）
①、②、③ より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
よって △OHP ≡ △OKP
→ PH = PK（角の二等分線上の点は、両辺から等距離）
- 斜辺：直角の向かい側の辺。最も長い辺
- 「斜辺と他の1辺」 = 斜辺＋直角をはさむ辺の1本（合計2辺）
- × 斜辺と斜辺（同じものを2回数える）
- 図で 斜辺をマーキングするクセを
- 「直角三角形」だと言うこと自体が「∠ = 90°」を含む
- 合同条件①の3つの根拠：「直角」＋「斜辺等しい」＋「他の1辺等しい」
- → 直角は「直角三角形」の条件としてあらかじめ与えられた
- 「斜辺と1つの鋭角」の鋭角は、90°未満の角
- 合同条件②では、その鋭角の 位置（どの位置の鋭角か）も明示
- 例：直角の隣の鋭角（斜辺と直角辺ではさむ角）
練習問題
2つの直角三角形について、合同を示すには次のうちどれが言えればよい？（複数可）
- 斜辺と1辺
- 斜辺と1鋭角
- 2鋭角
- 斜辺と直角
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(1) ○（合同条件①）
(2) ○（合同条件②）
(3) ×（形は決まるが大きさが決まらない）
(4) ×（直角はすでに直角三角形に含まれるので情報増えず）
AB = AC の二等辺三角形 ABC。A から BC への垂線の足を H とする。△ABH ≡ △ACH を証明せよ。
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△ABH と △ACH で、
① ∠AHB = ∠AHC = 90°（垂線）
② AB = AC（仮定）
③ AH = AH（共通）
直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので △ABH ≡ △ACH
∠AOB の二等分線上の点 P から OA、OB に垂線 PH、PK を下ろす。PH = PK を示すには何の合同を示せばよいか。
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△OHP ≡ △OKP を示せばよい。斜辺 OP 共通、∠HOP = ∠KOP（二等分線）、∠H = ∠K = 90° → 斜辺と1鋭角。合同から PH = PK。
「2つの直角三角形で、ある1辺と1鋭角が等しい」だけで合同と言えるか？
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対応する位置の1辺と1鋭角まで分かっていれば、直角も含めて「1辺とその両端の角」に帰着できるので合同。
ただし、直角三角形専用の合同条件として使うなら 斜辺と1鋭角、または 斜辺と他の1辺 を明示する。
まとめ
- 直角三角形の合同条件は 2つ。
- ① 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
- ② 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
- 普通の三角形より少ない条件で合同が言える。
- 直角があるため、形が一意に決まりやすい。
- 使いどころ：垂線・二等辺三角形・角の二等分線。