図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
ひし形
平行四辺形の特別な場合。
- 性質：平行四辺形のすべての性質を持つ
- 加えて：4辺がすべて等しい
- 対角線は 垂直に交わる
- 対角線はお互いを中点で2等分
- 対角線は各内角を二等分
ひし形 ABCD の対角線 AC、BD の交点を O とすると：
OA = OC、OB = OD（中点）
AC ⊥ BD（垂直）
対角線で4つの直角三角形に分割される（4つは合同）
長方形
平行四辺形の特別な場合。
- 性質：平行四辺形のすべての性質を持つ
- 加えて：4つの角がすべて直角
- 対角線は 等しい長さ
- 対角線はお互いを中点で2等分
長方形 ABCD の対角線 AC、BD の交点を O とすると：
AC = BD（等しい）
OA = OB = OC = OD（中点で交わる、4つの線分が全部同じ長さ）
O から4頂点までの距離が等しい → O は外接円の中心
正方形
4辺が等しく、4角がすべて直角。
- 4辺が等しい（ひし形の特徴）
- 4角が直角（長方形の特徴）
- 対角線は 等しく、垂直に交わる
- 対角線は中点で交わる
- 対角線は各内角を二等分（45°ずつに）
正方形 ABCD の対角線 AC、BD の交点を O とすると：
AC = BD（等しい、長方形の性質）
AC ⊥ BD（垂直、ひし形の性質）
OA = OB = OC = OD（中点）
対角線で4つの合同な直角二等辺三角形に分かれる
4種類の四角形の関係
四角形 ⊃ 平行四辺形 ⊃ ひし形・長方形 ⊃ 正方形
→ 正方形は すべての性質を持つ最強の四角形
→ ひし形と長方形は平行四辺形の特別な場合
→ 平行四辺形は四角形の特別な場合
→ 一般の四角形 ⊃ 台形（1組だけ平行）⊃ 平行四辺形 ⊃ ...
各四角形の対角線の性質まとめ
| 四角形 | 等しい | 垂直 | 中点で交わる |
|---|---|---|---|
| 平行四辺形 | × | × | ○ |
| ひし形 | × | ○ | ○ |
| 長方形 | ○ | × | ○ |
| 正方形 | ○ | ○ | ○ |
各四角形になる条件
平行四辺形＋ 次のいずれか：
① 4辺が等しい
② 隣り合う2辺が等しい
③ 対角線が垂直に交わる
平行四辺形＋ 次のいずれか：
① 4角が直角
② 1つの角が直角
③ 対角線の長さが等しい
① ひし形＋1つの角が直角
② 長方形＋隣り合う2辺が等しい
③ 4辺が等しく、4角が直角
④ 対角線が等しくて垂直に交わる平行四辺形
面積の公式
- 長方形：縦 × 横
- 正方形：1辺 × 1辺（または対角線²/2）
- ひし形：対角線 × 対角線 ÷ 2
- 平行四辺形：底辺 × 高さ
- これらは小学校で学ぶが、中学生でも使う
- ひし形：「4辺すべて等しい」
- 長方形：「4角すべて直角」
- 「2辺だけ等しい」「2角だけ直角」だけでは特別な平行四辺形にはならない
- 正方形は 長方形でもあり、ひし形でもある
- 「正方形は長方形に含まれる」「ひし形に含まれる」が正しい
- × 「正方形と長方形は別物」（誤）
- 台形：1組のみの対辺が平行
- 平行四辺形：2組の対辺が平行
- 台形は平行四辺形に含まれない
- 等脚台形（脚が等しい台形）でも平行四辺形ではない
練習問題
- 対角線が垂直に交わる平行四辺形は何か
- 対角線の長さが等しい平行四辺形は何か
- 対角線が垂直で長さも等しい平行四辺形は何か
答えを見る
(1) ひし形
(2) 長方形
(3) 正方形
次の性質を持つ四角形をすべて答えよ。
- 4つの辺が等しい
- 4つの角が直角
- 4つの辺が等しく、4つの角が直角
答えを見る
(1) ひし形（正方形を含む）
(2) 長方形（正方形を含む）
(3) 正方形のみ
「正方形は長方形である」は正しいか。理由とともに答えよ。
答えを見る
正しい。正方形は4角がすべて直角（長方形の条件）を満たすため、長方形でもある。
対角線が 6cm と 8cm のひし形の面積を求めよ。
答えを見る
ひし形の面積 = 対角線 × 対角線 ÷ 2 = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm²
まとめ
- ひし形：4辺が等しい平行四辺形。対角線は 垂直。
- 長方形：4角が直角の平行四辺形。対角線は 等しい。
- 正方形：ひし形 ＋ 長方形。対角線は等しく、垂直。
- 階層：四角形 ⊃ 平行四辺形 ⊃ ひし形・長方形 ⊃ 正方形。
- 各四角形になる条件をしっかり区別。
- ひし形の面積 = 対角線 × 対角線 ÷ 2。