図でつかむ
等積変形では「形が同じ」ではなく「底辺と高さが同じ」を見ます。頂点を平行線上で動かしても、高さが変わらないことを図で確認してから使うと安全です。
三角形の面積の復習
底辺と高さが同じ → 面積も同じ。形が違っていてもよい。
平行線と等しい面積（核心）
底辺は共通の AB（線 ℓ 上）
高さは2本の平行線の間隔（=どこでも一定）
→ 面積 = (1/2) × AB × 高さ = 一定
頂点 P を m 上のどこに動かしても、面積は同じ
→ △PAB の面積は P がどこにあっても等しい（m 上を動く限り）
イメージ ── 三角形がどう変わっても
底辺 AB が x 軸上にあり、頂点 P が y = 5 の直線（ℓ に平行）上にある
P が (0, 5) でも (10, 5) でも (−3, 5) でも、面積は同じ
→ 高さは「y = 5 − 0 = 5」で一定
→ 三角形の形は変わるが、底辺と高さは変わらない
等積変形 ── 中2の重要テクニック
複雑な多角形を三角形に変えて面積を求めるときに使う。
等積変形の使い方
四角形 ABCD の面積を求めたい
① 対角線 AC を引いて △ABC と △ACD に分ける
② △ACD で、頂点 D を移動させて等積変形（D の通る線を AC に平行に引く）
③ 形を整理して大きな三角形にする
→ 1つの三角形として面積計算できる
四角形 ABCD で、頂点 D を通り対角線 AC に平行な直線 ℓ を引く
ℓ が辺 BC の延長と交わる点を E とする
→ △ACD と △ACE は底辺 AC 共通、高さ同じ（ℓ ∥ AC）
→ 面積等しい
→ 四角形 ABCD と △ABE は面積が同じ
→ 三角形1つに変形できた！
等積変形の使い道
- 難しい形を 計算しやすい形に変換
- 図形問題で 等しい面積を示す
- 多角形を三角形に変形して面積を求める
- 2つの図形が等しい面積かどうか調べる
- 「面積を二等分する直線」を見つける
典型問題：面積を二等分する直線
三角形 ABC の頂点 A を通り、面積を二等分する直線を引け
[考え方] BC の中点 M を取ると、AM が △ABC の面積を二等分する
なぜなら：△ABM と △ACM は底辺 BM = MC（中点）、高さ共通 → 面積等しい
平行四辺形を二等分する直線
平行四辺形 ABCD の面積を二等分する直線
→ 対角線の交点を通るすべての直線が、平行四辺形の面積を二等分する
理由：平行四辺形の中心点を通る直線で2分される領域は、回転対称により面積等しい
→ 対角線を引けば二等分は確実
応用 ── 平行な底辺・高さの組み合わせ
△ABC で、BC の中点 M を取り、AM を結ぶ
→ △ABM と △ACM は面積等しい（中線で二等分）
底辺 BM = MC（同じ長さ）、高さ A から BC への垂線（共通）
→ 面積等しい
- 三角形の高さ = 底辺に 垂直な距離
- 2本の平行線に挟まれた高さは、どこでも同じ
- 頂点を平行線に沿ってずらしても、高さは変わらない
- → だから面積も変わらない
- 「底辺が同じ」「高さが同じ」かどうかを必ず確認
- 底辺が違えば、面積も違う可能性あり
- 図に印をつけて、何が等しいかを確認
- 等積変形には 平行線の補助線を引くのが定石
- 「ある頂点を通る、ある辺に平行な線」を引く
- 引く線によって変形のしかたが変わる
練習問題
2直線 ℓ ∥ m。ℓ 上に AB、m 上に P, Q, R がある。△PAB, △QAB, △RAB の面積関係は？
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すべて等しい（底辺 AB 共通、高さも ℓ と m の間隔で同じ）。形は違っても面積は同じ。
三角形 ABC で BC の中点を M とする。△ABM と △ACM の面積は等しいか。
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等しい。BM = MC（中点）、高さ（A から BC への垂線）が共通だから。
四角形 ABCD の頂点 D を通り、対角線 AC に平行な直線が BC の延長と交わる点を E とする。四角形 ABCD と △ABE の面積関係は？
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等しい。△ACD と △ACE は底辺 AC、高さ同じ（DE ∥ AC）で面積等しいから、四角形 ABCD = △ABC + △ACD = △ABC + △ACE = △ABE。
平行四辺形の面積を二等分する直線はどのように引けるか。
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対角線の交点（中心）を通る直線なら、どんな方向でも面積を二等分する。
まとめ
- 平行線間の三角形：底辺共通なら 面積は等しい。
- 三角形の面積 = (1/2) × 底辺 × 高さ。
- 等積変形：平行線で頂点をずらして形を変える。
- 応用：四角形を三角形に変形して面積計算。
- 三角形の中線は面積を二等分。
- 平行四辺形の中心を通る直線は面積を二等分。