図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
復習 ── 1元1次方程式
未知数 1つ（x のみ）の方程式
例：2x + 3 = 11 → x = 4
→ 答え（解）はちょうど1つ
x の値を変えると左辺の値が変わる ← 一意に決まる
2元1次方程式
ax + by = c の形（a, b, c は定数）。
例：x + y = 5、2x − y = 3、3x + 4y = 12
x + y = 5 を満たす (x, y) は…
(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0)...
x = 0.5 のとき y = 4.5
x = −1 のとき y = 6
→ 無数の組がある
グラフで見ると 直線になる（中2でこのあと学ぶ）
連立方程式
中2では「2元連立1次方程式」（未知数2つ、1次式2本）を学ぶ。
{ x + y = 5 …①
{ 2x − y = 1 …②
この2式を 同時に満たす (x, y) を求める
{ } の代わりに「・」や改行で2式を並べてもよい
連立方程式の解
① x + y = 5 を満たす：(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2)...
② 2x − y = 1 を満たす：(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)...
両方を満たすのは → (2, 3) のみ
解：x = 2, y = 3
確認：① 2+3=5 ✓ ② 2·2−3=1 ✓
2直線の交点としての解（グラフのイメージ）
2元1次方程式 → 1本の 直線
連立方程式の解 → 2直線の 交点
→ 普通は1つの交点（一意に決まる）
→ 平行な2直線は交点なし（解なし）
→ 重なる2直線は無数の解
※グラフでの解法は3章で詳しく学ぶ
解き方の2つの方法
- 加減法：両式を 足したり引いたりして1つの未知数を消去
- ・係数を揃えて、足し引きで x または y を消す
- ・残った1元の方程式を解いて値を得る
- ・元の式に戻して、もう1つの未知数を求める
- 代入法：1つの式から x または y を求め、もう1つの式に代入
- ・「x = 〜」「y = 〜」の形にする
- ・もう1つの式に代入して1元方程式に
- ・解いて、もう1つも求める
連立方程式の意義
例1：「リンゴとミカンを合わせて10個買い、合計600円。リンゴ80円、ミカン40円のとき、それぞれ何個？」
→ x + y = 10、80x + 40y = 600 の 2元連立になる
例2：「2桁の数があり、十の位と一の位の和は10、入れ替えた数は元より36大きい。元の数は？」
→ a + b = 10、10b + a = 10a + b + 36 の連立
1元方程式では解けない問題が解ける
方程式が成り立つかの確認
解を求めたあとは、両方の式に代入して両方が成り立つかチェック
例：解 (2, 3) が連立 { x + y = 5、2x − y = 1 } の解か？
① 2 + 3 = 5 ✓
② 2·2 − 3 = 4 − 3 = 1 ✓
→ 両方OK、(2, 3) は解
片方しか成り立たない → 連立方程式の解ではない
- 連立方程式の解は (x, y) の組として答える
- 例：「x = 2, y = 3」または「(x, y) = (2, 3)」
- 「x = 2」だけ書くのは×（y も答える必要あり）
- 解を確認するには、両方の式に代入して両方とも成り立つかチェック
- 2元1次方程式 1本だけ → 解は無数
- 2元連立方程式（2本セット）→ 解は通常1組
- 2つの式が 違う情報を持つことで、答えが定まる
- 未知数2つ → 式が2本必要（連立2元）
- 未知数3つ → 式が3本必要（連立3元、高校で学ぶ）
- 式が足りないと答えが定まらない
練習問題
次の組のうち、連立方程式 { x + y = 7、x − y = 1 } の解はどれか。
(ア) (3, 4) (イ) (4, 3) (ウ) (5, 2)
答えを見る
(イ) (4, 3)：4+3=7 ✓、4−3=1 ✓
(ア)：3+4=7 ✓、3−4=−1 ✗ → ×
(ウ)：5+2=7 ✓、5−2=3 ✗ → ×
「シャツとズボン合わせて4着、シャツ1着 a 円、ズボン1着 b 円で合計 c 円」を連立方程式で表せ。
答えを見る
シャツ x 着、ズボン y 着とすると：
x + y = 4、ax + by = c
連立方程式 { x + y = 8、x − y = 2 } の解を、表を作って見つけよ。
答えを見る
x + y = 8 を満たす：(0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3)...
x − y = 2 を満たす：(2,0), (3,1), (4,2), (5,3), (6,4)...
共通：(5, 3) → 解：x = 5, y = 3
「みかんを大袋と小袋で買う。大袋は1袋500円、小袋は1袋300円、合計5袋で2100円。それぞれ何袋か」を連立方程式で表せ（解かなくてよい）。
答えを見る
大袋 x 袋、小袋 y 袋とすると：
x + y = 5、500x + 300y = 2100
まとめ
- 2元1次方程式：x と y を含む1次式。1本だけだと解は無数。
- 連立方程式：2つの方程式を 同時に満たす解を求める。
- 解は通常1組（x = ○, y = △）。
- グラフで見ると2直線の 交点。
- 解き方：加減法と 代入法の2種類。
- 解の確認は 両方の式に代入して両方成り立つか。