加減法 ── 連立方程式の基本テクニック｜中2数学

図でつかむ

加減法は、2つの式を足す・引くことで同じ文字を消す解き方です。

先に「どの文字を消すか」を決め、係数をそろえてから足すか引くかを選びます。図のように、消える文字を目で確認してから計算すると符号ミスが減ります。

加減法とは

用語

加減法

2つの式を たし算または引き算することで、1つの未知数を消去する方法。
消去後は1元の方程式になり、解くだけで答えが出る。

加減法の基本手順

消したい文字を決める（係数が揃えやすい方）
2式の係数を揃える（必要なら整数倍）
2式を足すか引くかで1文字を消去
残った1元の方程式を解く
得た値を元の式に代入して、もう1文字も求める

係数が揃っている場合（最も簡単）

例1：{ x + y = 5　／　x − y = 1 }

y の係数が +1 と −1 → 2式を足すと y が消える

(x + y) + (x − y) = 5 + 1

2x = 6 → x = 3

x = 3 を 1式目に代入：3 + y = 5 → y = 2

→ (x, y) = (3, 2)

例2：{ 2x + 3y = 11　／　2x − 3y = 1 }

y の係数が +3 と −3 → 足すと y が消える

4x = 12 → x = 3

x = 3 を 1式目に代入：6 + 3y = 11 → 3y = 5 → y = 5/3

→ (3, 5/3)

係数を揃える必要がある場合

例3：{ 3x + 2y = 14　／　x + y = 6 }

y の係数が 2 と 1 → 2式目を 2倍して係数を揃える

{ 3x + 2y = 14　／　2x + 2y = 12 }

1式から 2式を引く：x = 2

x = 2 を 2式目に代入：2 + y = 6 → y = 4

→ (2, 4)

同符号は引く、異符号は足す（重要原則）

加減法の原則

消したい文字の係数が 同符号（両方＋または両方−） → 引く

　例：3x + 2y = ... と 5x + 2y = ... → 引いて y を消す

消したい文字の係数が 異符号（＋と−） → 足す

　例：3x + 2y = ... と 5x − 2y = ... → 足して y を消す

「同足異引」と覚える人もいる（実際は逆：同符号は引く、異符号は足す）

例題で確認

例4：{ 3x + 5y = 16　／　4x + 5y = 19 }

y の係数が同じ（同符号 +5）→ 引く（2式 − 1式）

x = 3

代入：3·3 + 5y = 16 → 5y = 7 → y = 7/5

→ (3, 7/5)

例5：{ 5x + 3y = 19　／　2x − 3y = 1 }

y の係数が +3 と −3（異符号）→ 足す

7x = 20 → x = 20/7

代入：5·(20/7) + 3y = 19 → 3y = 19 − 100/7 = 33/7 → y = 11/7

両方の係数を揃える

例6：{ 3x + 2y = 13　／　5x + 3y = 22 }

y を消すには、係数を最小公倍数 6 に揃える：

1式 × 3：9x + 6y = 39

2式 × 2：10x + 6y = 44

引く：x = 5（同符号6y で引く）

代入：15 + 2y = 13 → y = −1

→ (5, −1)

例7：x を消す方が楽な場合

{ 2x + 5y = 13　／　3x + 7y = 19 }

x の係数を揃える：1式×3、2式×2 → 6x

　1式×3：6x + 15y = 39

　2式×2：6x + 14y = 38

引く：y = 1、代入で x = 4

どちらの文字を消すか選ぶ

係数が小さい方が計算が楽
係数の最小公倍数が小さい方の文字を消す
1の係数があれば、それを揃えやすい
分数や小数を避けられる方を選ぶ

つまずきポイント①：両辺に同じ数を掛ける

「2式目を3倍」と決めたら、左辺も右辺も3倍する
×　左辺だけ3倍、右辺はそのまま（不一致）
係数だけでなく 定数項も忘れずに
例：x + y = 5 を3倍 → 3x + 3y = 15（5も3倍）

つまずきポイント②：足す or 引くの判断

同符号（＋＋ or −−）→ 引くと消える
異符号（＋−）→ 足すと消える
係数の絶対値が同じだけでなく、符号も確認

つまずきポイント③：代入の式

x の値が出たら、元の式（変形前）に代入
変形後の式に代入してもよいが、計算が面倒になることも
係数の小さい式に代入する方が楽

練習問題

問題1（加減法・基本）

次を解け。

{ x + y = 8、x − y = 2 }
{ 2x + y = 7、3x − y = 8 }
{ x + 2y = 9、3x + 2y = 13 }

答えを見る

(1) 足す：2x=10 → x=5、y=3

(2) 足す：5x=15 → x=3、y=1

(3) 2式−1式：2x=4 → x=2、1式：2+2y=9 → y=7/2

問題2（係数を揃える）

{ 2x + 3y = 12、x + y = 5 }
{ 3x + 2y = 16、5x + 4y = 30 }
{ 4x − 3y = 10、2x + y = 5 }

答えを見る

(1) 2式×2：2x+2y=10、1式から引く：y=2、x=3

(2) 1式×2：6x+4y=32、2式から引く：x=2、y=5

(3) 2式×3：6x+3y=15、1式と足す：10x=25 → x=5/2、y=0

問題3（応用）

{ 5x + 2y = 4、3x − 4y = −21 } を解け。

答えを見る

1式×2：10x + 4y = 8

足す（y の係数が +4 と −4 で異符号）：13x = −13 → x = −1

代入：−5 + 2y = 4 → y = 9/2

問題4（判断）

{ 3x + 4y = 25、2x − 5y = −2 } で、x と y のどちらを先に消すと楽か？

答えを見る

x の係数 3 と 2 の最小公倍数 6（1式×2、2式×3）

y の係数 4 と −5 の最小公倍数 20（1式×5、2式×4）

→ x を消す方が小さい数で計算でき、楽

まとめ

加減法：2式を 足す or 引くで1文字消去。
同符号は引く、異符号は足す。
係数を揃えるため両式を 整数倍することも（最小公倍数）。
両辺すべてに同じ数を掛ける（右辺も忘れずに）。
1文字を求めたら、元の式に代入してもう1文字も求める。
どちらの文字を消すかは、係数の最小公倍数が小さい方を選ぶ。