図でつかむ
「y = ...」や「x = ...」の形が見えたら、代入法が使いやすい合図です。入れる場所を図の矢印のように決めてから式を書くと、代入先を間違えにくくなります。
代入法とは
もう1つの式の y（または x）に 代入して、1文字を消す方法。
代入法の基本手順
- 片方の式を「y = 〜」または「x = 〜」の形にする
- もう1つの式の同じ文字に、その式を 代入
- 1文字だけの方程式になるので解く
- 得た値を元の式に戻して、もう1つの未知数を求める
- (x, y) のセットで答える
例1：すでに「y = …」がある場合
① はすでに「y = …」の形 → ②の y に代入できる
②の y に (2x + 1) を代入：
3x + (2x + 1) = 11
3x + 2x + 1 = 11
5x + 1 = 11
5x = 10 → x = 2
x = 2 を ①に代入：y = 2·2 + 1 = 5
→ (x, y) = (2, 5)
例2：「x = …」がある場合
①は「x = …」の形 → ②の x に代入
②の x に (y + 3) を代入：
2(y + 3) + y = 9
2y + 6 + y = 9
3y = 3 → y = 1
y = 1 を ①に代入：x = 1 + 3 = 4
→ (x, y) = (4, 1)
例3：まず「y = …」の形に変形してから
①を y について解く：y = 5 − x
②に代入：2x − (5 − x) = 4
かっこを外す（マイナスの分配に注意）：
2x − 5 + x = 4
3x = 9 → x = 3
y = 5 − 3 = 2
→ (x, y) = (3, 2)
例4：分数を含む式の代入
①を②に代入：3x − (x + 1)/2 = 5
両辺を 2倍して分母を払う：6x − (x + 1) = 10
6x − x − 1 = 10
5x = 11 → x = 11/5
y = (11/5 + 1)/2 = (16/5)/2 = 8/5
→ (11/5, 8/5)
加減法 vs 代入法 ── 使い分け
| 場合 | 適した方法 |
|---|---|
| 「y = …」または「x = …」がすでにある | 代入法が速い |
| 係数が同じ／揃えやすい | 加減法が速い |
| 係数の絶対値が同じ（例：2y と −2y） | 加減法（即足し算で消える） |
| どちらでも解けるが、計算量で選ぶ | どちらでもOK |
| 分数が多い式 | 分母を払ってから加減法が無難 |
代入法のコツ
代入する式は かっこで囲む（符号ミス防止）
代入後の方程式を解いたら、必ず 元の式に戻して残りを求める
y = ax + b の形 → x = (y − b)/a に変形してから x を代入してもOK
どちらの文字を消すか、係数が 1 か −1 のほうが変形しやすい
例題5：複雑な代入
②を ①に代入：3x + 2(x − 1) = 12
3x + 2x − 2 = 12
5x = 14 → x = 14/5
y = 14/5 − 1 = 9/5
→ (14/5, 9/5)
- 例：y = 2x + 1 を 3x + y = 11 に代入
- ○ 3x + (2x + 1) = 11（かっこをつける）
- かっこ前にマイナスがあるときは特に注意（符号反転）
- 例：x − y = 5 に y = 2x + 1 を代入
- x − (2x + 1) = 5 → x − 2x − 1 = 5
- x の値が出たら、代入で求めるのは 元の y = の式
- 新しく作った代入後の式に戻さない
- ○ x = 2 → y = 2·2 + 1 = 5（元の y = 2x + 1 に戻す）
- × 代入後の式に戻す → そもそも y が消えているので無意味
- x + y = 5 から y = 5 − x（OK）
- × y = x − 5（符号ミス）
- × y = 5 + x（移項で符号反転を忘れた）
- 移項するときに 必ず符号を反転
練習問題
- { y = x + 2、3x + y = 10 }
- { x = 2y、x + 3y = 15 }
- { y = 2x − 1、x + y = 8 }
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(1) 3x + (x+2) = 10 → 4x = 8 → x=2, y=4
(2) 2y + 3y = 15 → 5y = 15 → y = 3, x = 6
(3) x + (2x−1) = 8 → 3x = 9 → x = 3, y = 5
- { x + y = 7、3x − 2y = 1 }
- { x − y = 4、2x + y = 11 }
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(1) y = 7 − x を 2式目に代入：3x − 2(7 − x) = 1 → 5x − 14 = 1 → x = 3, y = 4
(2) y = x − 4 を 2式目に代入：2x + (x − 4) = 11 → 3x = 15 → x = 5, y = 1
{ y = −x + 3、2x − y = 6 } を解け。
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2x − (−x + 3) = 6
2x + x − 3 = 6
3x = 9 → x = 3, y = 0
{ 3x + 2y = 12、2x + 3y = 13 } を解く場合、加減法と代入法どちらが速いか？
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加減法（係数を揃えてから加減）が速い。
代入法だと「y = (12 − 3x)/2」のような分数式を作って代入することになり、計算が煩雑になる。
まとめ
- 代入法：1文字について解いた式を もう1つの式に代入。
- 「y = 〜」または「x = 〜」の形があると便利。
- 必ず かっこをつけて代入する（符号ミス防止）。
- 変形のときは 移項の符号に注意。
- 解いた後は 元の式に戻してもう1つの未知数を求める。
- 加減法と使い分け：問題に応じて。