いろいろな連立方程式 ── かっこ・分数・小数｜中2数学

解き方の基本流れ

かっこがあれば 分配法則で外す
分数があれば 分母の最小公倍数を両辺に掛けて整数化
小数があれば10倍・100倍で整数化
整理して ax + by = c の形に
加減法または代入法で解く

かっこを含む式

例1：{ 2(x − 1) + y = 5 …①　／　x + 3y = 8 …② }

①のかっこを外す：2x − 2 + y = 5

→ 2x + y = 7 …①'

普通の連立に：{ 2x + y = 7、x + 3y = 8 }

①'×3：6x + 3y = 21、②：x + 3y = 8

引く：5x = 13 → x = 13/5

y = 7 − 2·(13/5) = 7 − 26/5 = 9/5

→ (13/5, 9/5)

例2：{ 3(x + y) = 12 …①　／　x − 2y = 0 …② }

①を整理：3x + 3y = 12 → x + y = 4 …①'

{ x + y = 4、x − 2y = 0 }

①' − ②：3y = 4 → y = 4/3

x = 4 − 4/3 = 8/3

→ (8/3, 4/3)

分数を含む式 ── 分母を払う

例3：{ x/2 + y/3 = 4 …①　／　x + y = 7 …② }

①の両辺に 6（分母 2 と 3 の最小公倍数）を掛ける：

6·(x/2) + 6·(y/3) = 6·4

3x + 2y = 24 …①'

{ 3x + 2y = 24、x + y = 7 }

②×2：2x + 2y = 14、①'から引く：x = 10

y = 7 − 10 = −3

→ (10, −3)

例4：{ x/3 + y/2 = 3 …①　／　x + y = 7 …② }

①×6：2x + 3y = 18

{ 2x + 3y = 18、x + y = 7 }

②×2：2x + 2y = 14、①' から引く：y = 4

x = 7 − 4 = 3

→ (3, 4)

小数を含む式 ── 10倍・100倍

例5：{ 0.3x + 0.2y = 1.4 …①　／　x + y = 5 …② }

①に10を掛ける：3x + 2y = 14 …①'

{ 3x + 2y = 14、x + y = 5 }

②×2：2x + 2y = 10、①'から引く：x = 4

y = 5 − 4 = 1

→ (4, 1)

例6：小数2位まで（×100）

{ 0.05x − 0.02y = 0.06、x + y = 10 }

1式×100：5x − 2y = 6

{ 5x − 2y = 6、x + y = 10 }

2式×2：2x + 2y = 20、足す：7x = 26 → x = 26/7

y = 10 − 26/7 = 44/7

分数と小数の混在

例7：{ 0.2x + y/4 = 1、x − y = 3 }

1式に20を掛ける（小数は10倍、分数は4倍 → 最小公倍数20）：

20·0.2x + 20·(y/4) = 20·1

4x + 5y = 20

{ 4x + 5y = 20、x − y = 3 }

代入法：x = y + 3、4(y+3) + 5y = 20

9y + 12 = 20 → y = 8/9、x = 8/9 + 3 = 35/9

A = B = C の形

例8：x + y = 2x − y = 5

3つの等号を 2つの式に分ける：

最も自然なのは「= 5」で両側を切る：

{ x + y = 5、2x − y = 5 }

足す：3x = 10 → x = 10/3

y = 5 − 10/3 = 5/3

→ (10/3, 5/3)

他の分け方も可：{ x + y = 2x − y、2x − y = 5 } など

連立方程式の解の判定

解がない、解が無数になる場合

ふつうは解が1組だが、稀にこんなことが起きる

① 2x + 4y = 6 と x + 2y = 3 → 2倍すれば同じ式 → 解は無数（同じ直線）

② 2x + 4y = 6 と x + 2y = 4 → 平行な直線 → 解なし

中2レベルではあまり出ないが、知っておくと安心

つまずきポイント①：両辺すべてに掛ける

分母を払うとき、すべての項に同じ数を掛ける
右辺の定数項にも掛けるのを忘れない
例：x/2 + y/3 = 4 → 両辺×6 → 3x + 2y = 24（4 → 24）
×　3x + 2y = 4（右辺を6倍するの忘れ）

つまずきポイント②：かっこを外すときの符号

2(x − 1) → 2x − 2（分配OK）
−(x − 1) → −x + 1（マイナスを分配）
−2(x + 3) → −2x − 6（両方マイナス）

つまずきポイント③：小数の倍率

0.3x なら 10倍で 3x
0.05x なら 100倍で 5x
小数点以下の最大の位に合わせて 10、100、1000... 倍
分数が混じる場合は、分母の倍数も考慮

練習問題

問題1（かっこ）

{ 2(x + y) = 10、x − y = 4 } を解け。

答えを見る

1式整理：x + y = 5

{ x + y = 5、x − y = 4 }、足す：2x = 9 → x = 9/2、y = 1/2

問題2（分数）

{ x/3 + y/2 = 3、x + y = 7 } を解け。

答えを見る

1式×6：2x + 3y = 18。連立。2式×2：2x + 2y = 14。引く：y = 4、x = 3

問題3（小数）

{ 0.5x + 0.3y = 1.4、x − y = 1 } を解け。

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1式×10：5x + 3y = 14、2式：x − y = 1

x = y + 1、5(y+1) + 3y = 14 → 8y = 9 → y = 9/8、x = 17/8

問題4（A=B=C）

x + 2y = 3x − y = 7 を解け。

答えを見る

{ x + 2y = 7、3x − y = 7 }

2式×2：6x − 2y = 14、足す：7x = 21 → x = 3、y = 2

まとめ

かっこ：分配法則で外す。
分数：両辺に 分母の最小公倍数を掛けて整数化。
小数：両辺を10倍・100倍で整数化。
分数＋小数：最小公倍数を考えて掛ける。
A = B = C：2つの等式に分けて連立に。
「整理 → 解く」の2段階で攻略。