連立方程式の文章題 ── 個数・速さ・割合

リンゴ1個 100円、ミカン1個 50円。合わせて 8個 買い、合計 600円。それぞれ何個？

リンゴ x 個、ミカン y 個とすると：

{ x + y = 8 …①（個数の式）

{ 100x + 50y = 600 …②（代金の式）

②÷50：2x + y = 12 …②'

②' − ①：x = 4、y = 8 − 4 = 4

→ リンゴ 4個、ミカン 4個

確認：4 + 4 = 8 ✓、100·4 + 50·4 = 600 ✓

ノート 120円、鉛筆 50円。合わせて10本買って 920円。それぞれ何本？

ノート x 冊、鉛筆 y 本

{ x + y = 10、120x + 50y = 920 }

2式÷10：12x + 5y = 92

1式×5：5x + 5y = 50、引く：7x = 42 → x = 6、y = 4

→ ノート 6冊、鉛筆 4本

A町からB町まで、行きは時速4km、帰りは時速6kmで往復し、合計5時間。片道は何 km？

片道を x km とする（行きと帰り同じ道）

時間 = 距離 ÷ 速さ より、

行きの時間：x/4　帰りの時間：x/6

合計5時間：x/4 + x/6 = 5

両辺×12：3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12

→ 片道 12 km

家から学校まで一部は歩き（時速4km）、一部は走り（時速8km）で計1時間で着いた。総距離は5km。歩いた時間・走った時間は？

歩いた時間を x 時間、走った時間を y 時間とすると：

{ x + y = 1（合計時間）

{ 4x + 8y = 5（合計距離）

代入：x = 1 − y、4(1−y) + 8y = 5 → 4 + 4y = 5 → y = 1/4

x = 3/4

→ 歩き 3/4 時間（45分）、走り 1/4 時間（15分）

8%の食塩水と3%の食塩水を混ぜて、6%の食塩水を500g作る。それぞれ何 g？

8%を x g、3%を y g とすると：

{ x + y = 500（合計の式）

{ 0.08x + 0.03y = 0.06·500 = 30（食塩の量の式）

2式×100：8x + 3y = 3000

1式×3：3x + 3y = 1500、引く：5x = 1500 → x = 300、y = 200

→ 8% 300 g、3% 200 g

確認：8·300 + 3·200 = 2400 + 600 = 3000、3000/500 = 6% ✓

中学生 x 人と高校生 y 人がいた。中学生の 30% と高校生の 20% を合わせると 30人になり、合計人数は 120人。それぞれ何人？

{ x + y = 120、0.3x + 0.2y = 30 }

2式×10：3x + 2y = 300、1式×2：2x + 2y = 240、引く：x = 60、y = 60

→ 中学生 60人、高校生 60人

現在、父は子の3倍の年齢。10年後、父は子の2倍の年齢。今の年齢は？

父 x 歳、子 y 歳：

{ x = 3y（現在）

{ x + 10 = 2(y + 10)（10年後）

2式を整理：x + 10 = 2y + 20 → x = 2y + 10

代入：3y = 2y + 10 → y = 10、x = 30

→ 父 30歳、子 10歳

確認：現在 30 = 3·10 ✓、10年後 40 = 2·20 ✓

2桁の整数があり、十の位と一の位の数の和は12。十の位と一の位を入れ替えると、もとの数より36大きくなる。もとの数は？

十の位を a、一の位を b とすると：

もとの数：10a + b、入れ替え：10b + a

{ a + b = 12、(10b + a) − (10a + b) = 36 → 9b − 9a = 36 → b − a = 4 }

足す：2b = 16 → b = 8、a = 4

→ もとの数 48