一次関数とは ── y = ax + b の意味｜中2数学

図でつかむ

図1：一次関数 y = ax + b は、傾き a と切片 b で決まる直線

この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。

一次関数の定義

用語

一次関数

y が x の 一次式で表される関数。
y = ax + b の形（a ≠ 0、b は定数）。
a を 傾き（変化の割合）、b を 切片（y切片）という。

比例（中1の復習）との違い

	比例	一次関数
式	y = ax	y = ax + b
グラフ	原点を通る直線	直線（原点とは限らない）
切片	0（原点）	b（任意の値）
x = 0 のとき	y = 0	y = b
関係	一次関数で b = 0 の場合	比例を含む広い概念

傾き a と切片 b の意味

重要

傾きと切片

傾き a：x が 1増えると y がどれだけ増えるか（負なら減る）

切片 b：x = 0 のときの y の値（y軸との交点）

対応表で見る一次関数

例：y = 2x + 1

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−3	−1	1	3	5	7

x が 1増えるごとに y が 2増えている → 傾き 2

x = 0 のとき y = 1 → 切片 1

確認：x = −2 のとき y = 2·(−2) + 1 = −3 ✓

例：y = −x + 4（傾きが負）

x	−1	0	1	2	3	4
y	5	4	3	2	1	0

x が 1増えるごとに y が 1減っている → 傾き −1

x = 0 のとき y = 4 → 切片 4

具体例で見る

例1：y = 3x + 5

傾き 3、切片 5

x = 0 のとき y = 5

x = 1 のとき y = 8

x = 2 のとき y = 11

x が1増えるごとに y は3ずつ増える

例2：y = −2x + 4

傾き −2、切片 4

x が増えると y は減る（右下がり）

x = 0 のとき y = 4、x = 2 のとき y = 0

例3：y = (1/2)x − 1

傾き 1/2、切片 −1

x が2増えると y が1増える（傾きが緩やか）

x = 0 のとき y = −1、x = 2 のとき y = 0

変化の割合

公式

変化の割合

変化の割合 = y の変化量 ÷ x の変化量
一次関数 y = ax + b では、変化の割合は a で一定（どこを取っても同じ）。

例：y = 2x + 1 の変化の割合

x: 1 → 3（x の変化量 +2）

y: 3 → 7（y の変化量 +4）

変化の割合 = 4/2 = 2（= 傾き a）

どこを取っても変化の割合は 2 で一定 → これが一次関数の特徴

身近な一次関数の例

タクシー料金：基本料金 b 円 + 距離 x km × 単価 a 円/km
　例：y = 250x + 410（円、x km）
携帯電話の料金：基本料金 + 通話分
水道料金：基本料金 + 使用量に応じた料金
水を入れる時間と量：最初に 5L 入っている水槽に毎分 2L 入れる → y = 2x + 5
ろうそくの長さ：燃え始めの長さ b から毎分 a cm 短くなる → y = b − ax

つまずきポイント①：a の符号と直線の向き

a > 0：右上がりの直線（x 増 → y 増）
a < 0：右下がりの直線（x 増 → y 減）
|a| が大きいほど傾きが急（垂直に近い）
|a| が小さいほど傾きが緩やか（水平に近い）

つまずきポイント②：a = 0 は一次関数でない

a = 0 だと y = b（一定）になる → 水平な直線
これは「定数関数」で、一次関数とは別物
定義に「a ≠ 0」と入っているのに注意

つまずきポイント③：式の形が違う場合

y = 3x + 5 はそのまま読める
2y = 6x + 10 → y = 3x + 5（両辺÷2して標準形に）
3x + y = 5 → y = −3x + 5（y について解いて標準形に）
標準形 y = ax + b に直してから傾き・切片を読む

練習問題

問題1（傾きと切片）

次の一次関数の傾きと切片は。

y = 5x + 3
y = −x + 2
y = (1/2)x − 4
y = −3x

答えを見る

(1) 傾き 5、切片 3

(2) 傾き −1、切片 2

(3) 傾き 1/2、切片 −4

(4) 傾き −3、切片 0（比例）

問題2（値の計算）

y = 3x − 2 で、次の x のときの y を求めよ。

x = 0
x = 2
x = −1
x = 1/3

答えを見る

(1) y = −2　(2) y = 4　(3) y = −5　(4) y = 1 − 2 = −1

問題3（変化の割合）

一次関数 y = 4x − 3 で、x が 2 から 5 まで変化したとき、y の変化量は何か。

答えを見る

x = 2 のとき y = 5、x = 5 のとき y = 17

y の変化量 = 17 − 5 = 12

変化の割合 = 12 ÷ 3 = 4（= 傾き）

問題4（標準形に直す）

次を y = ax + b の形に変形して、傾きと切片を答えよ。

2y = 4x − 6
2x + y = 5

答えを見る

(1) y = 2x − 3、傾き 2、切片 −3

(2) y = −2x + 5、傾き −2、切片 5

まとめ

一次関数：y = ax + b（a ≠ 0）。
a は傾き（x 1増 → y a 増）、b は切片（x=0 のときの y）。
比例 y = ax は、b = 0 の一次関数の特殊形。
a の符号で右上がり（a>0）／右下がり（a<0）が決まる。
変化の割合 = 傾き a（どこを取っても一定）。
身近な例：タクシー料金、水道料金、水槽の水量。