変化の割合と傾き ── 一次関数の核｜中2数学

図でつかむ

図1：傾きは「右へ何、上へ何」で見る

この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。

変化の割合の定義

公式

変化の割合

変化の割合 = (y の増加量) ÷ (x の増加量)
記号で書くと： Δy / Δx
※ Δ（デルタ）は「差」「変化量」を表す

増加量とは

「増加量」の意味

x の増加量 = 後の x − 前の x

y の増加量 = 後の y − 前の y

例：x が 2 → 5 のとき、x の増加量 = 5 − 2 = +3

例：y が 7 → 3 のとき、y の増加量 = 3 − 7 = −4（マイナスでも「増加量」と呼ぶ）

一次関数の変化の割合 = a（重要）

公式

一次関数の特徴

y = ax + b では、変化の割合は 常に a で一定。
x がどの範囲を動いても、どこを取っても同じ値になる。
これが一次関数の 最大の特徴。

例1：y = 2x + 3

x が 1 → 4 のとき：y は 5 → 11

変化の割合 = (11−5)/(4−1) = 6/3 = 2 = a ✓

x が −2 → 1 のとき：y は −1 → 5

変化の割合 = (5−(−1))/(1−(−2)) = 6/3 = 2 = a ✓

どこをとっても変化の割合 = 2 で一定

例2：y = −3x + 5（傾きが負）

x が 0 → 2 のとき：y は 5 → −1

変化の割合 = (−1 − 5)/(2 − 0) = −6/2 = −3 = a ✓

y の増加量を計算する

公式

y の増加量

y の増加量 = a × (x の増加量)
傾き a が分かっていれば、x の増加量から y の増加量がすぐ分かる。

例3：y = 3x + 2 で x が 2 増えたときの y の増加量

y の増加 = a × (x の増加) = 3 × 2 = 6

→ y は 6 増える

例4：y = −x + 5 で x が 4 増えたとき

y の増加 = (−1) × 4 = −4

→ y は 4 減る（負の増加 = 減少）

例5：y = (1/2)x + 1 で x が 6 増えたとき

y の増加 = (1/2) × 6 = 3

グラフの傾きとの関係

傾き = 変化の割合 = a

グラフ上で、右に1動くと上下に a 動く

a が正：右上がりの直線

a が負：右下がりの直線

|a| が 大きい：傾きが急（縦に近い）

|a| が 小さい：傾きが緩やか（横に近い）

変化の割合から a を求める

例6：x が 2 から 5 に増えると y が 6 増えるとき

x の増加量 = 5 − 2 = 3

y の増加量 = 6

a = 6 / 3 = 2

例7：x が 4 増えると y が 8 減るとき

x の増加量 = 4、y の増加量 = −8

a = −8 / 4 = −2

2点から a を求める

公式：(x₁, y₁) と (x₂, y₂) を通る一次関数

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

例：(1, 3) と (5, 11) を通る

a = (11 − 3) / (5 − 1) = 8 / 4 = 2

例：(−1, 4) と (2, −2) を通る

a = (−2 − 4) / (2 − (−1)) = −6 / 3 = −2

つまずきポイント①：増加量の符号

「y の増加量」は 負でもよい（負ならその分減る）
「x が増えるとき」の話なので、x の増加量は通常正
×　y は4減るから増加量は4（誤、増加量は −4）
○　y の増加量は −4

つまずきポイント②：分子と分母の順番

変化の割合 = y の増加 / x の増加
×　x / y　○　y / x
「変化の割合」は y/x の感覚（傾き = 高さ/幅）

つまずきポイント③：負の数同士の引き算

x が −3 から 2 へ：増加量 = 2 − (−3) = 5
x が 4 から −1 へ：増加量 = −1 − 4 = −5
「後 − 前」の順序を守る

練習問題

問題1（変化の割合）

次の一次関数の変化の割合は。

y = 4x − 1
y = −2x + 3
y = (1/3)x + 5

答えを見る

(1) 4　(2) −2　(3) 1/3

問題2（y の増加量）

y = 3x + 2 で、x が 5 増えると y はどう変化？
y = −2x + 1 で、x が 3 増えると y はどう変化？
y = (1/2)x − 3 で、x が 4 増えると y はどう変化？

答えを見る

(1) 15 増える（3 × 5）

(2) 6 減る（−2 × 3 = −6）

(3) 2 増える（1/2 × 4 = 2）

問題3（傾きを求める）

x が 2 から 5 に増えると y が 6 増えるときの a。
x が −1 から 3 に増えると y が 8 減るときの a。
2点 (1, 5) と (4, 14) を通る一次関数の a。

答えを見る

(1) 6/3 = 2

(2) −8/4 = −2

(3) (14−5)/(4−1) = 9/3 = 3

問題4（応用）

一次関数 y = 2x + 3 で、x が a から a + 5 まで変化したとき、y の変化量を求めよ。

答えを見る

x の増加量 = 5、a = 2 なので、y の増加量 = 2 × 5 = 10

※ どこから動かしても変化の割合は一定なので、a の値によらない

まとめ

変化の割合 = (y の増加量) / (x の増加量)。
一次関数では 常に a で一定。
y の増加量 = a × (x の増加量)。
グラフの 傾き = 変化の割合 = a。
2点から a：(y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)。
a の符号：正→右上がり、負→右下がり。