樹形図と表 ── 場合の数の数え方｜中2数学

図でつかむ

樹形図は、分かれ道を順番に伸ばして全ての場合を漏れなく数える図です。

枝の先を数えれば全体の場合の数になります。途中で順番を変えたり、同じ段に違う操作を混ぜたりしないことが、数え漏れを防ぐコツです。

樹形図とは

用語

樹形図

場合分けを 枝分かれで表した図。
すべての場合を 漏れなく重なりなく数えるためのツール。

樹形図の例

例1：コインを2回投げる

1回目：表（H）か裏（T）の 2通り

2回目：それぞれの場合に、表か裏

　1回目 H → HH、HT

　1回目 T → TH、TT

→ 全 4通り（= 2 × 2）

例2：コインを3回投げる

1回目：H/T（2通り）

2回目：それぞれに H/T → 4通り

3回目：それぞれに H/T → 8通り

全 8通り（= 2³）

HHH、HHT、HTH、HTT、THH、THT、TTH、TTT

表を使う方法 ── 2要素のとき便利

例3：2個のサイコロを振る

縦に1個目（1〜6）、横に2個目（1〜6）の表を作る

→ 6 × 6 = 36通り

36個のマスの中から、目的の場合をマークして数える

和が7になる場合：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6通り

確率 = 6 / 36 = 1/6

例4：2個のサイコロで和が偶数

和が偶数 = (偶,偶) または (奇,奇)

(偶,偶)：3 × 3 = 9通り

(奇,奇)：3 × 3 = 9通り

合計 18通り → 確率 18/36 = 1/2

場合の数の「掛け算」

公式

場合の数の積の法則

独立した2つの操作で、それぞれ a 通り、b 通りなら、
合計の場合の数 = a × b 通り。

例：洋服の組み合わせ

シャツ 3種類、ズボン 4種類 → 3 × 4 = 12 通りのコーディネート

シャツ 3、ズボン 4、靴 2 → 3 × 4 × 2 = 24 通り

順列の考え方（並べる）

用語

順列

並べる順番が 区別される場合の数え方。
n 個から k 個を順番に選ぶ：n × (n−1) × ... × (n−k+1) 通り。

例：3人を1列に並べる

1番目：3通り（A, B, C のどれか）

2番目：残り2通り

3番目：残り1通り

→ 3 × 2 × 1 = 6通り

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

例：5人から3人選んで並べる

1番目：5通り、2番目：4通り、3番目：3通り

→ 5 × 4 × 3 = 60通り

場合の数の応用 ── 確率計算

例：コイン3回投げて表が2回

全場合：2³ = 8通り

表が2回：(表表裏), (表裏表), (裏表表) → 3通り

確率 = 3/8

例：A、B、C、D の4人から2人選んで並べる

場合の数：4 × 3 = 12通り

A が最初にくる場合：A__、残り3人から1人 → 3通り

確率：3/12 = 1/4

カードを引く問題

例：1〜5 のカードから2枚を引いて並べる

場合の数：5 × 4 = 20通り（1枚目 5通り、2枚目 4通り）

2桁の偶数になる場合：1の位が偶数（2か4）

→ 1の位は 2通り、10の位は残り 4通り = 8通り

確率：8/20 = 2/5

「順番なし」の組合せ（参考）

組合せ（中3で学ぶ）

並べる順番を区別しない

例：5人から3人を選ぶ（順番なし）

→ 5C3 = 10通り（中3で学ぶ）

中2では「並べる」のほうを中心に

つまずきポイント①：「順番あり」「順番なし」

「A→B」と「B→A」を別物とみなす → 順列（並べる）
「A, B」と「B, A」を同じとみなす → 組合せ（選ぶ、中3）
問題文をよく読み、どちらかを判定
「並べる」「左から」「順番に」 → 順列
「選ぶ」「組」 → 組合せ

つまずきポイント②：樹形図を全部描く

樹形図は すべての場合を描く
「他は同じ」と省略しない（途中で誤りやすい）
大きな数になる場合は表や掛け算で求める

つまずきポイント③：同じものを区別するか

2枚のコインを区別する場合：HH、HT、TH、TT の4通り
区別しない場合：HH、HT(=TH)、TT の3通り
確率の計算では 区別するのが普通（同様に確からしいため）

練習問題

問題1（樹形図）

3人 A, B, C を1列に並べる並べ方は何通り？

答えを見る

3 × 2 × 1 = 6通り

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

問題2（表）

2個のサイコロの目の和が10以上になる確率を求めよ。

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和10：(4,6),(5,5),(6,4)　和11：(5,6),(6,5)　和12：(6,6)

合計 6通り。確率 = 6/36 = 1/6

問題3（コイン）

コインを4回投げる。表がちょうど3回出る確率は？

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全場合：2⁴ = 16通り

表が3回（=裏が1回）：裏の位置が4通り → HHTH、HHHT、HTHH、THHH

確率 = 4/16 = 1/4

問題4（カード）

1〜5のカードから2枚を引いて並べ、2桁の数を作る。3の倍数になる確率は？

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全：5×4 = 20通り

3の倍数：12, 15, 21, 24, 42, 45, 51, 54 など、和が3の倍数になる組

(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4) → 8通り

確率 = 8/20 = 2/5

まとめ

樹形図：枝分かれで 漏れなく数える。
表：2要素の組合せに便利（縦×横）。
独立な操作の場合の数：掛け算（a × b）。
順列：n × (n−1) × … で順番を区別する数え方。
「順番あり」と「順番なし」の区別が大切。
確率 = 場合の数 / 全体の場合の数。