くじ引きの確率
確率 = 当たりの数 / 全体の数
P(当たり) = 3/10
P(はずれ) = 7/10
合計：3/10 + 7/10 = 1（事象すべての和は1）
全体 10本
1等：1/10、2等：2/10 = 1/5、3等：3/10、はずれ：4/10 = 2/5
合計：1 + 2 + 3 + 4 = 10、確率の合計：1
カードの確率
エース：4枚（スペード、ハート、ダイヤ、クラブ）
確率 = 4/52 = 1/13
絵札：4種類 × 3枚 = 12枚
確率 = 12/52 = 3/13
2回操作の確率
全場合：36通り
和が偶数になるのは：(奇,奇) と (偶,偶)
奇の数 3（1,3,5）、偶の数 3（2,4,6）
(奇,奇)：3×3 = 9通り、(偶,偶)：3×3 = 9通り
合計 18通り → 確率 = 18/36 = 1/2
積が偶数 = 少なくとも1個が偶数
余事象「両方奇」を考える：3×3/36 = 9/36 = 1/4
→ P(積が偶数) = 1 − 1/4 = 3/4
余事象を使う ── 強力なテクニック
P(余事象) = 1 − P(その事象)
「少なくとも〜」「〜以外」のとき威力を発揮。
「少なくとも1個が1」は直接計算が面倒
→ 「すべて1以外」の余事象を使う
P(すべて1以外) = (5/6)³ = 125/216
P(少なくとも1個が1) = 1 − 125/216 = 91/216
玉を取り出す問題
全 7個、赤 4個 → 確率 4/7
2個とも赤の確率を求める
1回目に赤：2/5
2回目も赤（1回目の赤を取った後の状態）：1/4（残り4個の中に赤1個）
→ 確率 = (2/5) × (1/4) = 2/20 = 1/10
合計9個、戻さない
1回目に赤、2回目に白：(4/9) × (3/8) = 12/72 = 1/6
1回目に白、2回目に赤：(3/9) × (4/8) = 12/72 = 1/6
→ 順番関係なく赤と白：1/6 + 1/6 = 1/3
順列を使う確率
全並べ方：4! = 24通り（4!＝4×3×2×1。「階乗」といい高校で学ぶ記法）
A が一番前：1×3×2×1 = 6通り
確率：6/24 = 1/4
全：5×4×3 = 60通り
A が最初：1×4×3 = 12通り
確率：12/60 = 1/5
「戻す」と「戻さない」
戻す（独立試行）：1回目と2回目が独立
例：袋に赤2白3、1個取って色を見て戻し、再度取る
2回とも赤：(2/5) × (2/5) = 4/25
戻さない：2回目は1回目の結果に依存（全体数が減る）
例：袋に赤2白3、1個取って戻さず、再度取る
2回とも赤：(2/5) × (1/4) = 1/10
同時に取り出す
「同時に2個」は「戻さずに2個続けて」と同じ
袋に赤2・白3 → 5個から2個同時に取り出す
場合の数（順序不問）：5C2 = 10通り（高校で学ぶ・参考）または順列で計算
2個とも赤：1通り（赤の組合せは1通り）
確率：1/10
- 戻す（独立試行）：1回目と2回目が独立、確率はそのまま
- 戻さない：2回目は1回目の結果に依存（全体数が減る）
- 問題文を 必ず確認「戻して」「戻さずに」
- 「少なくとも1個 〜」「最低1個 〜」 → 余事象を使う
- 余事象：「1個も 〜 でない」
- 余事象の確率の補集合（1 から引く）
- 計算が大幅に簡単になる
- 樹形図や表で 全部列挙
- 確率の式：分子・分母とも 同じ数え方で揃える
- 順序を区別するなら、両方とも区別する
確率で説明する ── 「公平か」を判断する
確率は計算するだけでなく、その結果を使って説明したり判断したりすることも大切です。「どちらが当たりやすいか」「このゲームは公平か」を、確率の値を根拠にして言葉で説明できるようにしましょう。
くじA：当たり3本・全体10本 → P(A) = 3/10 = 0.3
くじB：当たり5本・全体16本 → P(B) = 5/16 = 0.3125
0.3 < 0.3125 なので、くじBの方が当たりやすいと説明できる。
（本数だけを見て「当たりが5本もあるBの方が当たりやすい」と言うのは誤り。全体の本数が違うので、必ず確率で比べる）
2個のサイコロを振り、和が奇数ならAさんの勝ち、和が偶数ならBさんの勝ちとするゲーム。
P(和が奇数) = 18/36 = 1/2、P(和が偶数) = 18/36 = 1/2
2人が勝つ確率がどちらも 1/2 なので、このゲームは公平と判断できる。
もし「3の倍数ならA、それ以外ならB」のようにルールを変えると、2人の勝つ確率が異なるので公平ではないゲームになる。
このように、確率は数字を出すだけでなく、その数字を比べて「どちらが有利か」「ルールは公平か」を根拠つきで説明するための道具として使う。
この章でつまずきやすいところ
確率の問題を読んでいると、「これ戻すんだっけ？」「2個のサイコロで全部で何通り？」と途中で手が止まることがあります。ここでは、解き始めてから迷いやすい4つの場面を取り上げて、見分け方を整理します。
「戻す」か「戻さない」かを読み飛ばしてしまう
- つまずく場面：「袋に赤2・白3。1個取って、次にまた1個取る」と書かれていて、すぐに分母を5のまま計算し始めてしまう。1回目に取った玉を戻すかどうかが書いてあるはずなのに、そこを確認せずに式を立ててしまう場面。
- 克服のコツ：条件の見分け方として、問題文の最初に「戻して」「戻さずに」が書いてあるかをチェックします。戻すなら2回目も分母は同じ、戻さないなら2回目の分母は1減ります。「同時に2個」と書かれていたら、戻さない場合と同じ扱いになります。
- ミニ例：赤2・白3で2回とも赤。戻すなら2/5×2/5=4/25。戻さないなら2/5×1/4=1/10。分母が4に減るかどうかで答えが大きく変わります。
サイコロ2個の全体を「12通り」と思い込んでしまう
- つまずく場面：「サイコロ2個の目の和が偶数になる確率」を読んで、サイコロ1個が6通りだから2個なら6+6=12通り、と分母を書いてしまう。表で並べる前に、つい足し算で全体数を出してしまう場面。
- 克服のコツ：位置関係で見分けると分かりやすいです。1個目の目を縦、2個目の目を横にして表を書くと、マスは6×6=36通りになります。「2個を区別して数える」のが基本ルール。分子も同じく、1個目と2個目を区別したまま数えます。
- ミニ例：和が偶数 → (奇,奇)=3×3=9通り、(偶,偶)=3×3=9通り、合わせて18通り。確率は18/36=1/2。分母を12にすると答えが合わなくなります。
「少なくとも1個」を足し算で押し通そうとしてしまう
- つまずく場面：「サイコロ3個で少なくとも1個が1の目」と読んで、1個目が1の確率＋2個目が1の確率＋3個目が1の確率、と素直に足してしまう。重なりに気づかず、1/6+1/6+1/6=1/2と書いてしまう場面。
- 克服のコツ：因果関係で整理します。「少なくとも1個起こる」の反対は「1個も起こらない」。両者を足すと必ず1になるので、1から余事象を引くと楽です。「少なくとも」「〜以外」「最低1つ」を見たら余事象を疑う合図にします。
- ミニ例：3個のサイコロで全部1以外＝(5/6)³=125/216。よって少なくとも1個が1の確率は1-125/216=91/216。足し算だと重複してしまうので使えません。
分子と分母で数え方を変えてしまう
- つまずく場面：「赤2・白3から2個同時に取り出して2個とも赤になる確率」を解いている途中、分母は順序を区別して20通りにしたのに、分子は「赤2個の組」=1通りと、順序を無視して数えてしまう。式の形は合っているのに答えが合わない場面。
- 克服のコツ：見分け方として、分子と分母は必ず同じ数え方で揃えます。順序を区別するなら両方とも区別、組合せで数えるなら両方とも組合せ。樹形図や表で全部書き出すと、ズレを目で確認できます。
- ミニ例：赤2・白3から2個。順序を区別すると分母5×4=20、赤→赤は2×1=2通りで2/20=1/10。組合せなら分母10、赤の組1通りで1/10。揃えれば答えは一致します。
練習問題
当たり5本・はずれ15本のくじから1本引いて当たる確率は。
答えを見る
5/20 = 1/4
2個のサイコロで目の積が偶数になる確率は。
答えを見る
余事象「両方奇」の確率：(3×3)/36 = 9/36 = 1/4
偶数：1 − 1/4 = 3/4
袋に赤3個、白2個が入っている。2個続けて取り出す（戻さない）。2個とも赤になる確率は。
答えを見る
1回目赤：3/5、2回目赤：2/4 = 1/2
確率 = (3/5) × (1/2) = 3/10
52枚のトランプから1枚引く。スペードまたはハートになる確率は。
答えを見る
スペード 13枚 + ハート 13枚 = 26枚
確率 = 26/52 = 1/2
まとめ
- 確率 = 求める場合 / 全場合。
- 2回操作：樹形図・表で数える。
- 独立な事象：確率の 掛け算。
- 余事象：「起こらない」 + 「起こる」 = 1。
- 「少なくとも」は余事象を使うとラク。
- 玉や球：戻すか戻さないか要確認。
- 「同時に」≒「戻さずに連続で」。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
天気予報の「降水確率」も確率の考え方実生活
降水確率60%とは、その予報を100回出したとき、約60回は対象の時間内に1mm以上の雨や雪が降る、という意味です。雨の降る面積や時間の長さではなく、くじやサイコロと同じ「起こりやすさの割合」を表しています。
ジャンボ宝くじの1等が当たる確率実生活
年末ジャンボ宝くじは1ユニット2000万枚のうち1等が1枚なので、1等の当たる確率は2000万分の1（0.000005%）です。これは、くじ引きで学んだ「当たりの数÷全体の数」をそのまま大きな数にあてはめたものです。
「少なくとも」で威力を出す ── 誕生日のパラドックス発展
ある集団で誕生日が同じ人がいる確率は、わずか23人で約50.7%と、半数を超えます。「誰かが一致する」を直接数えるのは大変なので、「全員の誕生日が異なる確率」を求めて1から引く、つまり余事象を使うのがコツです。
「次こそ当たる」は思いこみ ── ギャンブラーの誤謬発展
コインで表が5回続けて出ても、6回目に表が出る確率はやはり2分の1のままです。前の結果が次の結果に影響しない試行を独立試行といい、「そろそろ裏が出るはず」と考えるのはギャンブラーの誤謬と呼ばれる誤りです。
降水確率はどう計算しているのか発展
降水確率は、数値予報（コンピュータによる大気のシミュレーション）の結果をもとに、過去の統計を使った計算で求める「ガイダンス」という方法で算出されています。数値予報で直接は計算しない降水確率を、統計的な処理によって割合として求めているのです。これは、起こった場合の数を全体の場合の数で割って確率を出す、教科書の考え方と通じる発想です。