復習のポイント
- 確率 = (求める場合の数) / (全体の場合の数)
- 0 ≦ P ≦ 1（必ず起こる=1、絶対起こらない=0）
- 樹形図・表で漏れなく数える
- 独立試行：掛け算（戻すとき）
- 余事象：「少なくとも」は 1 − P(起こらない)
- 戻すか戻さないか問題文で確認
確率問題の数え方
- 最初に「1回引く」「戻す」「戻さない」「順序を区別する」の条件を確認する。
- 起こりうる場合が同様に確からしいかを見てから、全体の場合の数を決める。
- 2個のサイコロは、同じ和でも出方の数が違う。和だけを並べて数えない。
- 「少なくとも1回」は、全部から「1回も起こらない」を引くと速い。
全体は HH, HT, TH, TT の4通り。表が1枚以上は HH, HT, TH の3通り。
または、1−「表が0枚」=1−1/4=3/4。
この章でつまずきやすいところ
確率の問題を解いていると、「これは戻すんだっけ？」「和で数えていいんだっけ？」と途中で手が止まりやすい単元です。ここでは、問題文を読んでいる最中に多くの中学生が迷う4つの場面と、その整理のコツを取り上げます。
サイコロ2個の和を「和の種類」で数えてしまう
- つまずく場面：「サイコロを2個振って和が5になる確率」を読んだ瞬間、和は2から12までの11通りだから1/11ではないか、と数えてしまう場面。和ごとに出方の数が違うことを忘れて、和の種類だけで分母を決めてしまう迷いが起きます。
- 克服のコツ：位置関係で整理します。サイコロ2個は「1個目の目」と「2個目の目」を区別して並べると、全体は6×6=36通り。和ごとに数えるのではなく、(1個目, 2個目)の組を一つひとつ書き出して、条件を満たす組だけを分子にする、と順番を決めておきます。
- ミニ例：和が5になるのは (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) の4通り。全体は36通りなので 4/36=1/9。和の種類で割った1/11は誤りです。
「戻す」「戻さない」を読み飛ばしてしまう
- つまずく場面：「赤2白3の袋から2個取る」という問題で、いつも通り (2/5)×(2/5) と計算してから、よく見ると「戻さずに」と書いてあり手が止まる場面。試行の条件を確認する前に、見慣れた掛け算に飛びついてしまう迷いです。
- 克服のコツ：時系列で整理します。1回目を引いた直後に「玉は袋に戻ったか？」を必ず自問します。戻したなら2回目も分母は元のまま、戻さないなら分母も分子も1ずつ減る、と分けて計算する手順をいつも先に決めてしまいます。
- ミニ例：赤2白3で2個取り赤2個の確率は、戻すなら (2/5)(2/5)=4/25、戻さないなら (2/5)(1/4)=1/10。同じ見た目の問題でも答えが変わります。
「少なくとも1回」を正面から数えようとして詰まる
- つまずく場面：「サイコロを4回振って少なくとも1回6が出る確率」を読み、ちょうど1回・2回・3回・4回の場合をそれぞれ数え始めて、計算量が多くて途中で迷子になる場面。直接数える方針を選んでしまうことによるつまずきです。
- 克服のコツ：因果関係で整理します。「少なくとも1回起こる」の反対は「1回も起こらない」。直接数えにくいときは、まず反対の事象（余事象）を数えて、1から引くと決めておきます。これだけで計算手数が大きく減ります。
- ミニ例：4回とも6が出ない確率は (5/6)⁴=625/1296。よって少なくとも1回6が出る確率は 1 − 625/1296 = 671/1296。直接数えるより圧倒的に速く整理できます。
順序を考える問題と組合せの問題を混同する
- つまずく場面：「3人から2人選ぶ」と「3人から2人選んで並べる」を読み比べているとき、どちらも 3×2=6 通りで同じだと思って書いてしまい、答えが合わずに迷う場面。「並べる」と「選ぶだけ」の違いが本文を読む途中で曖昧になります。
- 克服のコツ：見分け方で整理します。問題文に「並べる」「順に」「1番目・2番目」とあれば順序を区別、「選ぶ」「組」「2人組」とあれば順序を区別しない、と読み取りの合図を決めておきます。順序ありなら n×(n-1)、順序なしならそれを2で割る、と手順化します。
- ミニ例：A,B,Cから2人を並べると AB,BA,AC,CA,BC,CB の6通り。2人を選ぶだけなら AB,AC,BC の3通り。同じ「3人から2人」でも数え方が変わります。
- サイコロで1が出る確率
- サイコロで3以下が出る確率
- サイコロを2個振って和が5の確率
- サイコロを2個振って同じ目の確率
- サイコロ2個の目の差が1の確率
- コインを3回投げて全部表の確率
- コイン2枚で1枚以上表の確率
- サイコロ2個で目の積が12以上の確率
- サイコロを4回振って少なくとも1回6が出る確率（余事象で）
- コイン4回で表ちょうど2回の確率
答えを見る
(1) 1/6 (2) 3/6=1/2
(3) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) = 4 → 4/36=1/9
(4) 6/36=1/6（11,22,33,44,55,66）
(5) (1,2)(2,1)(2,3)(3,2)(3,4)(4,3)(4,5)(5,4)(5,6)(6,5) = 10 → 10/36=5/18
(6) (1/2)³=1/8 (7) 1 − (1/4) = 3/4
(8) 積が12未満を数えると19通りなので、36−19=17通り → 17/36
(9) 1 − (5/6)⁴ = 1 − 625/1296 = 671/1296
(10) 4C2/2⁴ = 6/16 = 3/8
- 当たり2はずれ8のくじで当たる確率
- 赤3白2の袋から1個取って赤の確率
- 1〜10のカードから1枚引いて偶数の確率
- 1〜10のカードから1枚引いて5以下か7以上の確率
- 赤2白3から2個取り（戻さず）赤2個の確率
- 赤2白3から2個取り（戻して）赤2個の確率
- 1〜20から1枚で3の倍数の確率
- トランプ52枚からエースを引く確率
- トランプ52枚から絵札（J,Q,K）を引く確率
- 1〜10から1枚で素数の確率
答えを見る
(1) 2/10=1/5 (2) 3/5 (3) 5/10=1/2
(4) 5以下5個+7以上4個=9個 → 9/10 (5) (2/5)(1/4)=1/10
(6) (2/5)(2/5) = 4/25 (7) 6/20 = 3/10（3,6,9,12,15,18）
(8) 4/52 = 1/13 (9) 12/52 = 3/13（絵札は3種×4枚）
(10) 2,3,5,7 → 4/10 = 2/5
- A、B、Cの3人を1列に並べる場合の数
- 3人から2人選んで並べる場合の数
- 5人から3人を並べる場合の数
- 3人A,B,Cから2人選ぶ場合の数（順序なし）
- 5人から2人選ぶ場合の数（順序なし）
答えを見る
(1) 3! = 6通り（ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA）
(2) 3×2 = 6通り (3) 5×4×3 = 60通り
(4) AB, AC, BC → 3通り (5) 5×4/2 = 10通り
- 赤2白3の袋から1個取り、戻さずもう1個取る。1個目赤、2個目白の確率
- 同じ袋で、2個取って違う色の確率
- 当たり3はずれ7のくじを2人で順に1本ずつ引く（戻さず）。1人目当たり、2人目当たり以外の確率
- 1〜6のカードから2枚引いて積が偶数の確率
- サイコロ2個振って積が10以上の確率
- A、Bの2人でじゃんけんを1回する。あいこ（同じ手）になる確率を求めなさい。
答えを見る
(1) (2/5)(3/4) = 6/20 = 3/10
(2) 赤白＋白赤 = (2/5)(3/4) + (3/5)(2/4) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5
(3) (3/10)(7/9) = 21/90 = 7/30
(4) 余事象「両方奇」= (3/6)(2/5) = 1/5 → 偶数: 1−1/5 = 4/5
(5) 積が10以上：2の列2通り、3の列3通り、4の列4通り、5の列5通り、6の列5通り → 19/36
(6) 全体はグー・チョキ・パーの組が3×3=9通り。あいこは(グーグー)(チョキチョキ)(パーパー)の3通り → 3/9=1/3
テスト前のチェックリスト
- □ 確率 = 求める場合 / 全場合
- □ 樹形図・表で漏れなく数える
- □ サイコロ2個 → 36通り
- □ コイン n 回 → 2ⁿ 通り
- □ 戻す → 確率は変わらず、掛け算
- □ 戻さない → 全体数が減る
- □ 「少なくとも」は余事象で（1 − P(起こらない)）
- □ 順列：n×(n-1)×... 、組合せ：n×(n-1)/2（中3で詳しく）
- 「同様に確からしい」が前提（公平なサイコロ、偏りなし）
- 戻すか戻さないかを必ず確認
- 同時に取り出す＝戻さずに連続で2個
- 順序を区別するかで計算が変わる
- 余事象を使うと楽になることが多い（特に「少なくとも」）