四分位数 ── データを4等分｜中2数学

復習 ── 中1で学んだデータの整理

平均値：データの和 ÷ 個数
中央値（メジアン）：データを並べたときの中央の値
最頻値（モード）：一番多く出てくる値
範囲：最大値 − 最小値
中2では、これに 四分位数を加える

四分位数の定義

用語

四分位数

データを 小さい順に並べて、4等分する3つの値：

第1四分位数 Q₁：下位 25% の位置（下から1/4）

第2四分位数 Q₂：中央値（50% の位置）

第3四分位数 Q₃：上位 25% の位置（75% の位置）

四分位数の求め方

手順

① データを 小さい順に並べる

② 全体の 中央値 Q₂ を求める

③ 中央値より 下半分の中央値 → Q₁

④ 中央値より 上半分の中央値 → Q₃

→ データが Q₁、Q₂、Q₃ で4つのグループに分かれる

奇数個のデータ ── 例

例1：データ 2, 5, 7, 8, 12, 15, 18（7個）

並んでいる、データ数 7

中央値 Q₂ = 8（4番目、中央のデータ）

下半分：2, 5, 7（3個）→ 中央 → Q₁ = 5

上半分：12, 15, 18（3個）→ 中央 → Q₃ = 15

→ 4つに分かれる：(2,5)、(5,8)、(8,15)、(15,18)

偶数個のデータ ── 例

例2：データ 3, 5, 7, 9, 11, 13（6個）

データ数 6 → 中央値は 3番目と4番目の平均

中央値 Q₂ = (7+9)/2 = 8

下半分：3, 5, 7（3個）→ Q₁ = 5

上半分：9, 11, 13（3個）→ Q₃ = 11

例3：データ数 8 個

データ：4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 16

中央値 Q₂ = (9+10)/2 = 9.5

下半分（前半4個）：4, 6, 7, 9 → Q₁ = (6+7)/2 = 6.5

上半分（後半4個）：10, 12, 14, 16 → Q₃ = (12+14)/2 = 13

四分位範囲（IQR）

用語

四分位範囲

四分位範囲 = Q₃ − Q₁
データの 中央 50% の散らばりを表す。
外れ値の影響を受けにくい指標。

例1の四分位範囲

Q₁ = 5、Q₃ = 15 → 四分位範囲 = 15 − 5 = 10

→ データの中央 50% は 5〜15 の範囲に収まる

「範囲」と「四分位範囲」の違い

2つの散らばり指標

範囲 = 最大値 − 最小値（外れ値の影響を受けやすい）

四分位範囲 = Q₃ − Q₁（外れ値の影響を受けにくい、中央50%）

例：1, 5, 6, 7, 8, 9, 100

　範囲 = 100 − 1 = 99（100 の影響大）

　四分位範囲 = 9 − 5 = 4（外れ値の100が含まれない）

→ 外れ値があるデータでは四分位範囲のほうが信頼できる

外れ値とは

外れ値の判定

他のデータから極端に離れた値

慣例的な判定基準：

　Q₁ − 1.5 × IQR より小さい値

　Q₃ + 1.5 × IQR より大きい値

→ これに該当すれば外れ値の可能性

5数要約

データを5つの数で表現

5数要約：最小値、Q₁、Q₂（中央値）、Q₃、最大値

例1の場合：2、5、8、15、18

これでデータの分布の概要が分かる

→ 次回学ぶ「箱ひげ図」のもと

つまずきポイント①：個数の判定

奇数個：中央のデータがそのまま中央値
偶数個：中央の2つの平均が中央値
上下に分けたときも同じルール
分け方を間違えると四分位数が変わる

つまずきポイント②：「中央値」を含めるか

奇数個のとき、上半分・下半分に中央値を 含めない
例：データ 2,5,7,8,12,15,18 → 中央値 8 を除き、下半分 2,5,7、上半分 12,15,18
この教材では教科書に合わせて、この方式で統一する

つまずきポイント③：必ず小さい順に並べる

データはまず昇順に並べる
順番に並んでいないと、Q₁ や Q₃ の位置が分からない
並べ替えを忘れずに

練習問題

問題1（四分位数）

データ：5, 8, 10, 12, 15, 18, 22 で Q₁, Q₂, Q₃ を求めよ。

答えを見る

データ数 7

Q₂ = 12（中央）

下半分 5, 8, 10 → Q₁ = 8

上半分 15, 18, 22 → Q₃ = 18

問題2（四分位範囲）

問題1のデータの四分位範囲を求めよ。

答えを見る

Q₃ − Q₁ = 18 − 8 = 10

問題3（偶数個）

データ：4, 6, 8, 10, 12, 14 で Q₁, Q₂, Q₃ と四分位範囲を求めよ。

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データ数 6

Q₂ = (8+10)/2 = 9

下半分 4, 6, 8 → Q₁ = 6

上半分 10, 12, 14 → Q₃ = 12

四分位範囲 = 12 − 6 = 6

問題4（5数要約）

データ：3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 20 の5数要約を答えよ。

答えを見る

データ数 9、中央値 Q₂ = 10（5番目）

下半分 3,5,7,8 → Q₁ = (5+7)/2 = 6

上半分 12,15,18,20 → Q₃ = (15+18)/2 = 16.5

5数要約：最小 3、Q₁ 6、Q₂ 10、Q₃ 16.5、最大 20

まとめ

四分位数：データを 4等分する3つの値（Q₁, Q₂, Q₃）。
Q₂ = 中央値（メジアン）。
四分位範囲 = Q₃ − Q₁（中央50%の散らばり）。
外れ値の影響を受けにくい散らばりの指標。
5数要約：最小、Q₁、Q₂、Q₃、最大。
箱ひげ図（次回）の基礎となる。