比例のグラフを描いてみる
y = 2x をグラフに描くには、対応する点をいくつかプロットして、それらを直線で結ぶだけ。
x: −2, −1, 0, 1, 2, 3
y: −4, −2, 0, 2, 4, 6
→ 点 (−2, −4)、(−1, −2)、(0, 0)、(1, 2)、(2, 4)、(3, 6) を打つ
→ これらをすべて結ぶと、原点を通る直線が描ける
比例のグラフの3つの特徴
- 原点を必ず通る ── x = 0 のとき y = 0 だから
- 1本の直線 ── 対応する点はすべて同じ傾き
- a の符号で傾く方向が決まる ── a>0 なら右上がり、a<0 なら右下がり
比例定数 a と傾きの関係
- a が大きいほど、グラフは 急な右上がりに
- a が小さいほど（0に近い正の数）、グラフは 緩やかな右上がりに
- a が負の数のときは右下がり
グラフの描き方：2点だけでOK
直線は 2点が決まれば1本に決まる。実用的には：
- 原点 (0, 0) を1点目とする（必ず通る）
- 適当な x（できれば計算しやすい値）に対応する y を求めて、もう1点プロット
- 2点を直線で結ぶ
1点目：原点 (0, 0)
2点目：x = 1 のとき y = 3 → (1, 3)
この2点を直線で結ぶ → 完成
- 分数の比例定数：y = (1/2)x のとき、x = 2 で y = 1。 整数になる x を選ぶと描きやすい。
- 変域に注意：x ≧ 0 など制限があれば、グラフは その範囲だけ引く。
- 方眼の単位：x軸と y軸で1目盛りの単位が違うと、傾きの見え方が変わる。テストでは指定通りに。
比例のグラフは「原点」と「もう1点」で決まる
比例の式 y = ax では、x = 0 のとき必ず y = 0 です。だから比例のグラフは必ず原点を通ります。あとは x = 1 や x = 2 など、計算しやすい値を1つ入れて点を取れば、直線を引けます。表を全部作らなくても、原点ともう1点で直線が決まるのです。
- y = 2x：x = 1 のとき y = 2。原点と (1, 2) を結ぶ。
- y = -3x：x = 1 のとき y = −3。原点と (1, −3) を結ぶ。
- y = 1/2 x：x = 2 のとき y = 1。原点と (2, 1) を結ぶ。
a の符号でグラフの向きが変わる
比例定数 a が正なら、グラフは右上がりになります。x が増えるほど y も増えるからです。a が負なら、グラフは右下がりになります。x が増えるほど y は小さくなります。a の絶対値が大きいほど、同じ x の変化に対して y が大きく変わるので、グラフは急になります。
- まず原点を通っているかを確認する。通っていなければ比例ではない。
- グラフ上の読みやすい点を1つ選び、a = y ÷ x で比例定数を求める。
- 右上がりなら a は正、右下がりなら a は負。
練習問題
x: −2, −1, 0, 1, 2
y: ?
答えを見る
x: −2, −1, 0, 1, 2
y: −6, −3, 0, 3, 6
これらの点を打って結ぶと、原点を通る直線（右上がり、急な傾き）。
- y = x
- y = 4x
- y = (1/3)x
答えを見る
傾き＝比例定数 a。 a の絶対値が大きいほど傾きが急。
(1) a=1、(2) a=4、(3) a=1/3。
最も急なのは (2) y = 4x。
答えを見る
解答例：y = 2x の式に x = 0 を代入すると y = 2×0 = 0 になる。つまり点 (0, 0) ＝原点 がこの関係を満たす。比例 y = ax の式は、a が何であっても x = 0 のとき y = 0 になるので、グラフは必ず原点を通る。
まとめ
- 比例 y = ax のグラフは 原点を通る直線。
- a の絶対値が大きいほど傾きが 急、小さいほど 緩やか。
- a > 0 なら 右上がり、a < 0 なら 右下がり。
- グラフの描き方：原点 + もう1点を直線で結ぶだけ。