柱体の体積：底面積×高さ
公式
柱体の体積
体積 ＝ 底面積 × 高さ
角柱・円柱共通。「底面を高さ分だけ積み重ねた」と考えるイメージ。
角柱の例
例1：底面が一辺 5cm の正方形、高さ 8cm の四角柱
底面積 = 5×5 = 25 cm²
体積 = 25×8 = 200 cm³
例2：底面が直角を挟む辺3cm,4cmの直角三角形、高さ10cmの三角柱
底面積（三角形）= 3×4÷2 = 6 cm²
体積 = 6×10 = 60 cm³
円柱の例
例3：底面の半径 4cm、高さ 7cm の円柱
底面積（円）= π × 4² = 16π cm²
体積 = 16π × 7 = 112π cm³
柱体の表面積：すべての面の合計
公式
柱体の表面積
表面積 ＝ 底面積 × 2 ＋ 側面積
底面が2つ（上下）と、側面の面積をすべて足す。
側面積の計算
- 角柱：側面はいくつかの長方形（底面の各辺×高さ）。
または、側面積 ＝ 底面の周の長さ × 高さでまとめて計算可能。 - 円柱：側面は1つの長方形。側面積 ＝ 2πr × 高さ（底面の円周 × 高さ）。
計算例：角柱
例4：底面が3cm×4cmの長方形、高さ5cmの直方体（四角柱）
底面積 = 3×4 = 12 cm²
底面の周 = 2(3+4) = 14 cm
側面積 = 14×5 = 70 cm²
表面積 = 12×2 + 70 = 24 + 70 = 94 cm²
計算例：円柱
例5：底面の半径 3cm、高さ 8cm の円柱
底面積 = π × 9 = 9π cm²
側面積 = 2π × 3 × 8 = 48π cm² （円周 6π × 高さ 8）
表面積 = 9π × 2 + 48π = 18π + 48π = 66π cm²
つまずきポイント
- 底面積×2 を忘れない：上下に2つあるので2倍する。
- 側面積の計算：「底面の周×高さ」で覚えると、角柱でも円柱でも使える。
- π はそのまま残す：「16π cm²」のように、πを残した形で答える。
- 単位の確認：体積は cm³（立方センチ）、面積は cm²（平方センチ）。
柱体は「同じ底面が積み上がる」
- 角柱・円柱の体積は、底面積×高さ。高さは底面に垂直な距離。
- 表面積は、底面2枚分と側面積を足す。
- 円柱の側面は長方形に展開できる。横の長さは底面の円周2πr、高さは円柱の高さ。
- 単位は、面積ならcm²、体積ならcm³のように次元をそろえる。
例：半径3cm、高さ5cmの円柱
体積は π×3²×5=45πcm³。側面積は 2π×3×5=30πcm²。
練習問題
問題1（角柱の体積）
底面が縦 4cm、横 6cm の長方形、高さ 10cm の直方体の体積を求めなさい。
答えを見る
底面積 = 4×6 = 24 cm²
体積 = 24×10 = 240 cm³
問題2（円柱）
底面の半径 5cm、高さ 12cm の円柱について求めなさい。
- 体積
- 表面積
答えを見る
(1) 底面積 = π×25 = 25π cm²、 体積 = 25π×12 = 300π cm³
(2) 側面積 = 2π×5×12 = 120π cm²、 表面積 = 25π×2 + 120π = 50π + 120π = 170π cm²
問題3（三角柱）
底面が直角を挟む辺 6cm、8cm の直角三角形、高さ 10cm の三角柱の体積を求めなさい。
答えを見る
底面積 = 6×8÷2 = 24 cm²
体積 = 24×10 = 240 cm³
まとめ
- 柱体の体積：底面積 × 高さ。角柱・円柱共通。
- 柱体の表面積：底面積 × 2 ＋ 側面積。
- 側面積：底面の周 × 高さ（角柱）、2πr × 高さ（円柱）。
- π は残したまま、単位は cm³ / cm² を使い分ける。