柱体の体積：底面積×高さ
体積 ＝ 底面積 × 高さ
角柱・円柱共通。「底面を高さ分だけ積み重ねた」と考えるイメージ。
角柱の例
底面積 = 5×5 = 25 cm²
体積 = 25×8 = 200 cm³
底面積（三角形）= 3×4÷2 = 6 cm²
体積 = 6×10 = 60 cm³
円柱の例
底面積（円）= π × 4² = 16π cm²
体積 = 16π × 7 = 112π cm³
柱体の表面積：すべての面の合計
表面積 ＝ 底面積 × 2 ＋ 側面積
底面が2つ（上下）と、側面の面積をすべて足す。
側面積の計算
- 角柱：側面はいくつかの長方形（底面の各辺×高さ）。
または、側面積 ＝ 底面の周の長さ × 高さでまとめて計算可能。 - 円柱：側面は1つの長方形。側面積 ＝ 2πr × 高さ（底面の円周 × 高さ）。
計算例：角柱
底面積 = 3×4 = 12 cm²
底面の周 = 2(3+4) = 14 cm
側面積 = 14×5 = 70 cm²
表面積 = 12×2 + 70 = 24 + 70 = 94 cm²
計算例：円柱
底面積 = π × 9 = 9π cm²
側面積 = 2π × 3 × 8 = 48π cm² （円周 6π × 高さ 8）
表面積 = 9π × 2 + 48π = 18π + 48π = 66π cm²
- 底面積×2 を忘れない：上下に2つあるので2倍する。
- 側面積の計算：「底面の周×高さ」で覚えると、角柱でも円柱でも使える。
- π はそのまま残す：「16π cm²」のように、πを残した形で答える。
- 単位の確認：体積は cm³（立方センチ）、面積は cm²（平方センチ）。
柱体は「同じ底面が積み上がる」
- 角柱・円柱の体積は、底面積×高さ。高さは底面に垂直な距離。
- 表面積は、底面2枚分と側面積を足す。
- 円柱の側面は長方形に展開できる。横の長さは底面の円周2πr、高さは円柱の高さ。
- 単位は、面積ならcm²、体積ならcm³のように次元をそろえる。
体積は π×3²×5=45πcm³。側面積は 2π×3×5=30πcm²。
この章でつまずきやすいところ
「底面積×高さ」というシンプルな公式の途中で、生徒は底面の取り違え・高さの読み違え・円柱の側面を展開したときの横の長さ（直径か円周か）の取り違えなどで手が止まりがちです。読みながら起きやすい迷いを場面ごとに整理します。
下にある面を底面と思い込んでしまう
- つまずく場面：三角柱や横倒しの図を見たとき、机に接している面を反射的に底面にしてしまい、本文の「合同で平行な2面を選ぶ」という説明と一致せず、底面積を出す式が立てられなくなる場面。
- 克服のコツ：底面は合同で平行な2面を探すのがコツ。位置関係で見分け、上下ではなく「同じ形が向かい合うペア」を底面、それ以外を側面と整理する。横倒しの図でも、対応する2面を底面にとり直す。
- ミニ例：底面が直角三角形の三角柱を横に倒した図でも、合同な三角形2枚が底面。長方形の側面を底面と勘違いすると、底面積×高さの式が成り立たなくなる。
斜めの辺を高さと読み取ってしまう
- つまずく場面：立体の見取り図で、目立つ斜めの辺の長さをそのまま「高さ」として公式に代入してしまう場面。本文に「高さは斜めの辺ではなく、底面間の垂直な距離」と書いてあるのに、図中の数字につられて取り違える。
- 克服のコツ：高さは底面に垂直な距離と位置関係で見分ける。図中の長さが「2つの底面を結ぶ垂線」と一致しているかを確認し、斜めに見える辺は側面の辺なので高さに使わない。
- ミニ例：底面が三角形、見取り図に斜辺5cm・垂直の長さ10cmと書かれた三角柱なら、体積の式に入れる高さは10cm。5cmは側面の辺なので高さではない。
円柱の側面の横を直径と思い込んでしまう
- つまずく場面：円柱の展開図を見ながら側面積を計算するとき、長方形の横の長さに底面の直径2rを当てはめてしまう場面。本文の「横の長さは底面の円周2πr」という説明が頭に残らず、πが式から消えてしまう。
- 克服のコツ：円柱の側面を展開すると長方形になり、横は底面の円周2πr、縦は円柱の高さ、という対応で覚えるのがコツ。直径2rと円周2πrは別物で、間にπが入ることを必ず確認する。
- ミニ例：半径3cm・高さ5cmの円柱なら、側面の長方形の横は2π×3=6π cm。横の長さ6π cmからπを落として6cmと書いてしまい、側面積を6×5=30cm²としないように、π を残して 6π×5=30π cm² と書く。
体積と表面積で単位を取り違えてしまう
- つまずく場面：「体積を求めなさい」「表面積を求めなさい」を続けて解いていると、計算は合っているのに答えに cm² と書いたり、表面積に cm³ と書いたりしてしまう場面。求める量が「中身」か「外側」かの区別が途中で曖昧になる。
- 克服のコツ：求めている量で見分ける。体積=中身=cm³、表面積=外側の面積の合計=cm²とセットで覚える。式の最後に「長さの単位を何回かけたか」を確認し、3回かけたら cm³（立方センチメートル）、2回なら cm²（平方センチメートル）と単位をそろえる。
- ミニ例：半径3cm・高さ5cmの円柱で、体積は45π cm³、側面積は30π cm²。同じ立体でも、求める量が違えば単位も変わると確認する。
練習問題
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底面積 = 4×6 = 24 cm²
体積 = 24×10 = 240 cm³
- 体積
- 表面積
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(1) 底面積 = π×25 = 25π cm²、 体積 = 25π×12 = 300π cm³
(2) 側面積 = 2π×5×12 = 120π cm²、 表面積 = 25π×2 + 120π = 50π + 120π = 170π cm²
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底面積 = 6×8÷2 = 24 cm²
体積 = 24×10 = 240 cm³
まとめ
- 柱体の体積：底面積 × 高さ。角柱・円柱共通。
- 柱体の表面積：底面積 × 2 ＋ 側面積。
- 側面積：底面の周 × 高さ（角柱）、2πr × 高さ（円柱）。
- π は残したまま、単位は cm³ / cm² を使い分ける。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
水道メーターの「m³」と体積の単位実生活
水道料金の検針票では、使った水の量が立方メートル（m³）で書かれています。水は1m³＝1000リットル＝約1トン（1000kg）なので、底面積×高さで求めた体積がそのまま「何トンの水か」につながります。
出典：山形市上下水道部
ダムの貯水量はとても大きな体積実生活
ダムにためられる水の量も体積（m³）で表されます。国内で総貯水容量が最大の徳山ダム（岐阜県）は約6.6億m³で、これは1辺が約870mの立方体に入る水の量に相当します。柱体の体積と同じ単位で身近な水道とダムがつながっています。
飲料缶が円柱なのはなぜ？表面積と省資源実生活
アルミ缶が円柱形なのは、少ない材料で多くの中身を入れやすく、丸い形は圧力にも強いからです。日本のアルミ缶は工夫を重ねて1999年と比べ約6％軽くなり、材料や輸送のエネルギーを減らす省資源につながっています。
アルキメデスが誇った円柱と球の体積比2:3発展
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高校で学ぶ「カヴァリエリの原理」発展
斜めにかたむいた柱（斜柱）でも、各高さでの切り口の面積が同じなら体積は変わりません。これはカヴァリエリの原理とよばれ、「底面積×高さ」で体積が求まる理由を支える、高校数学にもつながる考え方です。