錐体の体積：柱体の 1/3
体積 ＝ 底面積 × 高さ × (1/3)
柱体の体積（底面積×高さ）の 1/3。これは数学的に証明できる事実（高校で詳しく）。
例題
底面積 = 6×6 = 36 cm²
体積 = 36 × 9 × (1/3) = 108 cm³
→ 108 cm³
底面積 = π × 9 = 9π cm²
体積 = 9π × 8 × (1/3) = 24π cm³
→ 24π cm³
角錐の表面積
角錐の表面積は、底面 ＋ 側面の三角形を全部足す。側面の三角形は4つ（四角錐なら）あって、それぞれ計算します。
底面積 = 6×6 = 36 cm²
側面の三角形1つ = 6×5÷2 = 15 cm²、 4つで 60 cm²
表面積 = 36 + 60 = 96 cm²
円錐の表面積
円錐の表面積は 底面の円 ＋ 側面のおうぎ形。注意ポイント：側面はおうぎ形ということ。
- 底面：πr²
- 側面（おうぎ形）：半径 ＝ 母線の長さ ℓ、弧の長さ ＝ 底面の円周 2πr
- 側面積 ＝ おうぎ形の面積 ＝ π × ℓ × r （r は底面の半径、ℓ は母線）
母線（ぼせん）とは
円錐の 高さ は頂点から底面へ垂直に下ろした距離、母線 は側面を通る斜めの距離です。体積では高さ、側面積では母線を使うので、同じ「長さ」でも役割が違います。
例題
底面積 = π×9 = 9π cm²
側面積 = π × 5 × 3 = 15π cm²
表面積 = 9π + 15π = 24π cm²
側面のおうぎ形の中心角
円錐の側面（おうぎ形）の中心角 a° は、弧 = 2πr、半径 = ℓから求められます。
2π ℓ × (a/360) = 2πr
→ a/360 ＝ r/ℓ（中心角は r/ℓ の割合）
例：r=3、ℓ=5 → 中心角 = 360 × (3/5) = 216°
- 1/3 を忘れない：錐体の体積は柱体と同じく「底面積×高さ」を計算してから、最後に1/3。
- 母線と高さの違い：円錐の高さは 真上から下までの垂直距離、母線は 頂点から底面の縁までの斜めの距離。混同しない。
- 側面はおうぎ形：円錐の側面が 三角形ではなくおうぎ形だと忘れがち。
- 三平方の定理（中3）が使えれば、母線・半径・高さは ℓ²= r²+h² の関係。
練習問題
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底面積 = 25 cm²、 体積 = 25×9×(1/3) = 75 cm³
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底面積 = 16π cm²、 体積 = 16π×9×(1/3) = 48π cm³
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底面積 = π×36 = 36π cm²
側面積 = π×10×6 = 60π cm²
表面積 = 36π + 60π = 96π cm²
まとめ
- 錐体の体積：底面積 × 高さ × (1/3)。柱体の1/3。
- 角錐の表面積：底面 ＋ 側面の三角形（複数）。
- 円錐の表面積：底面 πr² ＋ 側面のおうぎ形 πℓr。
- 側面のおうぎ形の中心角＝360°×(r/ℓ)。
- 母線（ℓ）と高さ（h）は別物。