球とはどんな立体か
- 球は、半円をその直径を軸として1回転させるとできる。
- どの向きから見ても、投影図は円になる。
- 平面で切ると、切り口は円になる。
- 中心を通る平面で切ったとき、切り口の円がもっとも大きい。
- 公式に入れるのは 半径 r。
- 直径が与えられたら、必ず2で割って半径に直す。
- 直径 10cm の球なら、r = 5cm。
球の公式
体積 V ＝ (4/3) π r³
表面積 S ＝ 4 π r²
r は球の半径。
球は展開図を平面にきれいに広げにくい立体なので、円柱や円錐のように展開図から表面積を直接求めるのは難しいです。そのため、中1では球の体積と表面積の公式を使って計算できるようにします。
- 体積は「空間の量」なので、単位は cm³。公式にも r³ が出る。
- 表面積は「表面の広さ」なので、単位は cm²。公式にも r² が出る。
- 体積と表面積は、数値が似ていても単位が違うため、意味はまったく別。
覚え方のコツ
- 体積：身の上に心配あ〜るの 3乗（4/3 π r³）
- 表面積：心配ある事情（4 π r²）
- 体積はr3（立方センチ→cm³ と同じ次元）、表面積はr2（平方センチ→cm² と同じ次元）── 単位とつながる
例題で慣れる
体積 V = (4/3)π × 3³ = (4/3)π × 27 = 36π cm³
表面積 S = 4π × 3² = 4π × 9 = 36π cm²
※ 偶然、半径3のときは体積（数値）と表面積（数値）が同じ。
直径 10cm なので、半径 r = 5cm。
体積 V = (4/3)π × 5³ = 500π/3 cm³
表面積 S = 4π × 5² = 100π cm²
※ 直径10をそのまま r に入れない。
球の切り口
球を平面で切ると、切り口は必ず円になります。中心を通るように切ると、切り口の円の半径は球の半径と同じになり、最も大きな円になります。
- 中心を通る切り口：半径 r の円、面積は πr²
- 中心からずれた切り口：半径は r より小さい円
- 半球の切り口：中心を通る大きな円
体積 = (4/3)π × 216 = 288π cm³
表面積 = 4π × 36 = 144π cm²
半球（はんきゅう）の問題
球を半分にした立体を 半球といいます。
体積：球の半分 → (4/3)πr³ × (1/2) = (2/3) π r³
表面積：球の半分の 曲面 ＋ 切り口の円（底面）
= 4πr² × (1/2) + πr²
= 2πr² + πr² = 3 π r²
- 球の半分の曲面（2πr²）だけでは 表面積として不完全。
- 切り口の円（πr²）も 足す 必要がある。
- 合計 3πr² が半球の正しい表面積。
立体の組み合わせ問題
テストでよく出る応用：「半球と円柱」「円錐と半球」など、複数の立体を組み合わせた図形の体積・表面積。
体積 = 半球の体積 + 円錐の体積
表面積 = 半球の曲面 + 円錐の側面（切り口の円は内部に隠れるので不要）
- 図を見て、どの基本立体に分解できるか判断
- 各立体の体積・表面積を計算
- 体積は単純に 足し算
- 表面積は 外側に出る部分だけ足す（接合部は除く）
練習問題
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体積 = (4/3)π×64 = 256π/3 cm³
表面積 = 4π×16 = 64π cm²
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体積 = (2/3)π×125 = 250π/3 cm³
表面積 = 3π×25 = 75π cm²（曲面 50π + 底面 25π）
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直径 12cm → 半径 6cm
表面積 = 4π × 36 = 144π cm²
※ 直径と半径を混同しないこと。半径 = 直径÷2。
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中心を通る切り口は、半径 7cm の円。
面積 = π×7² = 49π cm²
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半径は 4cm。
体積 = (4/3)π×4³ = 256π/3 cm³
直径 8cm をそのまま r に入れると誤り。
まとめ ── 6章のおさらい
- 球の体積：V = (4/3) π r³、表面積：S = 4 π r²。
- 球は、半円を直径を軸に1回転させるとできる。
- 球を平面で切ると切り口は円。中心を通る切り口が最も大きい。
- 半球：体積は球の1/2、表面積は 曲面 + 切り口の円 = 3πr²。
- 組み合わせ問題は分解して足す。表面積は外に出る部分だけ。
- 6章の流れ：立体の種類 → 投影/展開 → 位置関係 → 角柱・円柱 → 角錐・円錐 → 球。
- 次章「7章 データの分析と活用」で、統計の入り口を学ぶ。