中2までの復習：単項式 × 多項式
中2で学んだ展開は、外の数（または単項式）を 中のすべての項にかけるだけでした。
2(x + 3) = 2·x + 2·3 = 2x + 6
3x(x − 4) = 3x·x − 3x·4 = 3x² − 12x
−a(2a − b) = −a·2a − a·(−b) = −2a² + ab
これは 分配法則 a(b + c) = ab + ac の単純な適用でした。中3ではこれを 多項式 × 多項式まで拡張します。
(a + b)(c + d) の展開 ── 分配法則を2回
教科書では、積の形の式を、かっこをはずして単項式の和の形に表すことを「展開」と呼びます。つまり「かけ算の形 → 足し算・引き算の形」へ直す操作です。
仕組みは「分配法則を2回」。まず (a+b) を1つの数だと思って分配します。
(a + b)(c + d)
= (a + b)·c + (a + b)·d ← (c + d) に分配
= ac + bc + ad + bd ← それぞれ分配
= ac + ad + bc + bd ← 並び替え
図形的なイメージ ── 長方形の面積
(a + b)(c + d) は、縦が (a + b)、横が (c + d) の長方形の面積と同じです。
c d
┌────────┬────────┐
a │ ac │ ad │
├────────┼────────┤
b │ bc │ bd │
└────────┴────────┘
面積 = ac + ad + bc + bd
実際の展開 ── (x + 2)(x + 3) など
x·x + x·3 + 2·x + 2·3
= x² + 3x + 2x + 6
同類項 3x + 2x = 5x をまとめて
= x² + 5x + 6
x·x + x·5 + (−4)·x + (−4)·5
= x² + 5x − 4x − 20
= x² + x − 20
2x·x + 2x·(−3) + 1·x + 1·(−3)
= 2x² − 6x + x − 3
= 2x² − 5x − 3
展開の順序 ── 機械的な4項作り
「左の各項 × 右の各項」で4つの掛け算を作る。順番は決まっていないが、ミスを減らすには 「左→右、上→下」 と一定の順番で。
① a → c（外の外）
② a → d（外の内）
③ b → c（内の外）
④ b → d（内の内）
この4つを足す。
同類項の整理 ── 必ず最後にまとめる
展開した直後は項が多いまま。同じ文字・同じ次数の項（同類項） を必ず1つにまとめる。
x² − 4x + 4x − 16
中央の −4x + 4x = 0 で消える
= x² − 16
- (x − 3)(x + 2) で、−3 の マイナスごと 持っていく。x·x + x·2 + (−3)·x + (−3)·2 = x² + 2x − 3x − 6 = x² − x − 6。
- 「3 を持っていく」と勘違いすると符号が逆になる。「項」は符号込みと心得る。
- 同類項の整理で 項を1つ落とすのもよくあるミス。展開直後の4項を一度全部書き出してから整理する。
3項以上の展開
(a + b + c)(d + e) のように項が増えても、考え方は同じ。左のすべての項 × 右のすべての項を網羅する。
x·x + x·(−2) + y·x + y·(−2) + 1·x + 1·(−2)
= x² − 2x + xy − 2y + x − 2
同類項 −2x + x = −x
= x² + xy − x − 2y − 2
多項式 ÷ 単項式 ── 逆数をかける
展開の逆に近い操作として、多項式を単項式で割る計算もできるようにしておく。考え方は「割る数の逆数をかける」のと同じで、実際には 各項をその単項式で割ると計算しやすい。
(4x² + 6x) ÷ 2x = 4x²÷2x + 6x÷2x
= 2x + 3
検算：2x·(2x + 3) = 4x² + 6x → 元の式に戻るのでOK
(9a²b − 6ab) ÷ 3ab = 9a²b÷3ab − 6ab÷3ab
= 3a − 2
検算：3ab·(3a − 2) = 9a²b − 6ab → 元の式に戻るのでOK
「単項式 C で割る」ことは「C の逆数 1/C をかける」ことと同じ意味。分数の形 (A+B)/C に書いてから、各項ごとに係数・文字を約分すると、展開のときと同じ手順（各項を1つずつ処理する）で計算できる。
この章でつまずきやすいところ
(a+b)(c+d) を展開している途中で、符号や項の数で迷子になりやすい単元です。式を眺めている最中の「あれ、これでよかったっけ？」を、見分け方と並び順で整理して落ち着いて進められるようにします。
マイナスを数字だけ持っていってしまう
- つまずく場面：(x − 3)(x + 2) を展開している途中、左の項を一つずつ右に配るとき「3 を x にかけて、3 を 2 にかけて…」と進めてしまい、符号をどこに付けるか手が止まってしまう場面。
- 克服のコツ：見分け方のコツは「項は符号込みで1セット」と決めること。左の式を見たら、まず項の頭に縦線を入れて (x)(−3) のようにマイナスを項に含めてから右側へ配ると、(−3)·x = −3x、(−3)·2 = −6 と符号が自然に付いてきます。
- ミニ例：(x − 3)(x + 2) は x·x + x·2 + (−3)·x + (−3)·2 = x² + 2x − 3x − 6 = x² − x − 6。「3 を持っていく」と思うと符号が逆になります。
2項×2項のとき、4つ作る前に同類項をまとめ始めてしまう
- つまずく場面：(2x + 1)(x − 3) を展開している途中、慣れてくると暗算で「2x² と…えーと、−5x かな？」と頭の中で項を合体させようとして、中央の項の数を数え間違える場面。
- 克服のコツ：時系列のコツは「①4項全部書く → ②同類項をまとめる」の順番を絶対に崩さないこと。左の項の上のものから順に、右の式の左の項→右の項へ4本の矢印 (a→c, a→d, b→c, b→d) を引き、まず符号付きで4つ並べ切ってから整理に進みます。
- ミニ例：(2x + 1)(x − 3) は途中で 2x² − 6x + x − 3 と4項を書き切ってから、−6x + x = −5x にまとめて 2x² − 5x − 3。
中央の項が消える形を見て不安になる
- つまずく場面：(x − 4)(x + 4) を展開して x² − 4x + 4x − 16 まで書いた途中、「−4x と +4x って打ち消し合っていいんだっけ？どこかで計算を間違えた気がする」と手が止まってしまう場面。
- 克服のコツ：因果関係のコツは「同じ数の符号違いを左右に分けると、中央2項は必ず打ち消し合う」と理解しておくこと。左の項のうち +□ と −□ が対になっていれば、中央項は 0 になって2項だけ残るのが自然な結果です。
- ミニ例：(x − 4)(x + 4) → x² + 4x − 4x − 16 で 中央が 0 になり x² − 16。中央2項が打ち消し合って2項だけ残るのは正しい計算結果なので、消しすぎを疑わなくて大丈夫です。
3項×2項で項を1つ書き忘れてしまう
- つまずく場面：(x + y + 1)(x − 2) を展開している途中、左に項が3つあるのに「左×右で4つ作る」のイメージのまま進めてしまい、+1 を右側に配るのを忘れて項が足りなくなる場面。
- 克服のコツ：位置関係のコツは「左の項数 × 右の項数 = 作るべき項の数」と先に数えること。3×2 なら6項できるはずだと指で押さえてから、左の各項を順番に右の全部に配ると抜けが起きません。
- ミニ例：(x + y + 1)(x − 2) は 6項: x² − 2x + xy − 2y + x − 2。同類項 −2x + x = −x をまとめ、x の次数で降べきに並べて x² − x + xy − 2y − 2。
練習問題
- (x + 1)(x + 4)
- (x + 3)(x − 5)
- (x − 2)(x − 6)
- (x − 7)(x + 7)
答えを見る
(1) x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4
(2) x² − 5x + 3x − 15 = x² − 2x − 15
(3) x² − 6x − 2x + 12 = x² − 8x + 12
(4) x² + 7x − 7x − 49 = x² − 49 （中央が消える）
- (2x + 1)(x + 3)
- (3x − 2)(x + 4)
- (2x + 5)(3x − 1)
答えを見る
(1) 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3
(2) 3x² + 12x − 2x − 8 = 3x² + 10x − 8
(3) 6x² − 2x + 15x − 5 = 6x² + 13x − 5
- (x + y)(x + 2)
- (a + b)(a − b)
- (x + 2)(x + y − 3)
答えを見る
(1) x² + 2x + xy + 2y = x² + xy + 2x + 2y
(2) a² − ab + ab − b² = a² − b²
(3) x² + xy − 3x + 2x + 2y − 6 = x² + xy − x + 2y − 6
まとめ
- 多項式の展開は 分配法則を2回 使う：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd。
- 左のすべての項 × 右のすべての項 で 4項（3項なら6項） を作る。
- 「項」は符号込み。マイナスごと持っていくのを忘れない。
- 展開後は必ず 同類項の整理。中央の項が消えるパターン（和と差の積）もある。
- 面積モデル：(a+b)(c+d) = 縦(a+b)×横(c+d) の長方形 = 4つの小長方形の和。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
「代数(algebra)」の語源は“移項”と“同類項の整理”だった発展
9世紀の数学者フワーリズミーの著書『アル・ジャブル・ワル・ムカーバラ』が代数(algebra)の語源です。アル・ジャブルは負の項を移して消す移項、ムカーバラは同類項をそろえて簡約する操作を指し、まさにこの単元で展開のあとに行う「同類項のまとめ」と同じ発想です。
QRコードが汚れても読めるのは“多項式の割り算”のおかげ実生活
QRコードには、CDにも使われるリード・ソロモン符号という誤り訂正のしくみが入っています。データを多項式とみなして決まった式で割り、その余りを検査用に付け加えることで、コードが多少汚れたり欠けたりしても元のデータを復元できます。
人工衛星や宇宙通信のデータも多項式で守られている発展
通信や記録で生じる誤りを直す誤り訂正符号には、多項式の計算を土台にしたリード・ソロモン符号が使われます。連続して固まって起こる誤り(バースト誤り)に強いため、衛星通信などの分野で実用化されています。式の展開や因数分解で扱う多項式が、遠く離れた場所との通信を支えているのです。
2けた×2けたの筆算は、展開とまったく同じしくみ実生活
23×14のような筆算は、(20+3)×(10+4)のように位ごとに分けてかけ算し、最後に足し合わせています。これは分配法則を何度も使うことそのもので、(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bdという展開と同じ考え方です。展開を学ぶと、ふだんの計算のしくみも見えてきます。
展開の正体は、小学校で習った分配法則の“拡張”発展
分配法則は小学校の算数で計算のきまりとして学び、計算の工夫に使えるよう指導されています。中3の多項式の展開は、その分配法則を「多項式×多項式」まで広げただけで、新しい魔法の公式ではありません。根本を分配法則に戻して考えると、複雑な式も確実に処理できます。