中2までの復習：単項式 × 多項式
中2で学んだ展開は、外の数（または単項式）を 中のすべての項にかけるだけでした。
2(x + 3) = 2·x + 2·3 = 2x + 6
3x(x − 4) = 3x·x − 3x·4 = 3x² − 12x
−a(2a − b) = −a·2a − a·(−b) = −2a² + ab
これは 分配法則 a(b + c) = ab + ac の単純な適用でした。中3ではこれを 多項式 × 多項式まで拡張します。
(a + b)(c + d) の展開 ── 分配法則を2回
教科書では、積の形の式を、かっこをはずして単項式の和の形に表すことを「展開」と呼びます。つまり「かけ算の形 → 足し算・引き算の形」へ直す操作です。
仕組みは「分配法則を2回」。まず (a+b) を1つの数だと思って分配します。
(a + b)(c + d)
= (a + b)·c + (a + b)·d ← (c + d) に分配
= ac + bc + ad + bd ← それぞれ分配
= ac + ad + bc + bd ← 並び替え
図形的なイメージ ── 長方形の面積
(a + b)(c + d) は、縦が (a + b)、横が (c + d) の長方形の面積と同じです。
c d
┌────────┬────────┐
a │ ac │ ad │
├────────┼────────┤
b │ bc │ bd │
└────────┴────────┘
面積 = ac + ad + bc + bd
実際の展開 ── (x + 2)(x + 3) など
x·x + x·3 + 2·x + 2·3
= x² + 3x + 2x + 6
同類項 3x + 2x = 5x をまとめて
= x² + 5x + 6
x·x + x·5 + (−4)·x + (−4)·5
= x² + 5x − 4x − 20
= x² + x − 20
2x·x + 2x·(−3) + 1·x + 1·(−3)
= 2x² − 6x + x − 3
= 2x² − 5x − 3
展開の順序 ── 機械的な4項作り
「左の各項 × 右の各項」で4つの掛け算を作る。順番は決まっていないが、ミスを減らすには 「左→右、上→下」 と一定の順番で。
① a → c（外の外）
② a → d（外の内）
③ b → c（内の外）
④ b → d（内の内）
この4つを足す。
同類項の整理 ── 必ず最後にまとめる
展開した直後は項が多いまま。同じ文字・同じ次数の項（同類項） を必ず1つにまとめる。
x² − 4x + 4x − 16
中央の −4x + 4x = 0 で消える
= x² − 16
- (x − 3)(x + 2) で、−3 の マイナスごと 持っていく。x·x + x·2 + (−3)·x + (−3)·2 = x² + 2x − 3x − 6 = x² − x − 6。
- 「3 を持っていく」と勘違いすると符号が逆になる。「項」は符号込みと心得る。
- 同類項の整理で 項を1つ落とすのもよくあるミス。展開直後の4項を一度全部書き出してから整理する。
3項以上の展開
(a + b + c)(d + e) のように項が増えても、考え方は同じ。左のすべての項 × 右のすべての項を網羅する。
x·x + x·(−2) + y·x + y·(−2) + 1·x + 1·(−2)
= x² − 2x + xy − 2y + x − 2
同類項 −2x + x = −x
= x² + xy − x − 2y − 2
練習問題
- (x + 1)(x + 4)
- (x + 3)(x − 5)
- (x − 2)(x − 6)
- (x − 7)(x + 7)
答えを見る
(1) x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4
(2) x² − 5x + 3x − 15 = x² − 2x − 15
(3) x² − 6x − 2x + 12 = x² − 8x + 12
(4) x² + 7x − 7x − 49 = x² − 49 （中央が消える）
- (2x + 1)(x + 3)
- (3x − 2)(x + 4)
- (2x + 5)(3x − 1)
答えを見る
(1) 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3
(2) 3x² + 12x − 2x − 8 = 3x² + 10x − 8
(3) 6x² − 2x + 15x − 5 = 6x² + 13x − 5
- (x + y)(x + 2)
- (a + b)(a − b)
- (x + 2)(x + y − 3)
答えを見る
(1) x² + 2x + xy + 2y = x² + xy + 2x + 2y
(2) a² − ab + ab − b² = a² − b²
(3) x² + xy − 3x + 2x + 2y − 6 = x² + xy − x + 2y − 6
まとめ
- 多項式の展開は 分配法則を2回 使う：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd。
- 左のすべての項 × 右のすべての項 で 4項（3項なら6項） を作る。
- 「項」は符号込み。マイナスごと持っていくのを忘れない。
- 展開後は必ず 同類項の整理。中央の項が消えるパターン（和と差の積）もある。
- 面積モデル：(a+b)(c+d) = 縦(a+b)×横(c+d) の長方形 = 4つの小長方形の和。