乗法公式とは
「よく出る展開のパターンを公式化したもの」が乗法公式です。覚えれば、4項を作って整理する手順を飛ばせて、結果だけ書ける。
ただし、丸暗記だけだと符号で崩れやすい。教科書の流れと同じく、まず (x+a)(x+b) を展開して「和が x の係数、積が定数項」になることを確認し、平方や和と差の公式はその特別な形として見ると安定します。
① (a + b)² = a² + 2ab + b²（和の平方）
② (a − b)² = a² − 2ab + b²（差の平方）
③ (a + b)(a − b) = a² − b²（和と差の積）
④ (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
① (a + b)² の公式 ── 和の平方
(a + b)² = (a + b)(a + b)
= a·a + a·b + b·a + b·b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
形：「自分の2乗 + 2倍の積 + 相手の2乗」。真ん中の項 2ab（2倍を忘れがち！）。
a = x, b = 3
x² + 2·x·3 + 3²
= x² + 6x + 9
a = 2x, b = 5
(2x)² + 2·(2x)·5 + 5²
= 4x² + 20x + 25
② (a − b)² の公式 ── 差の平方
形は ① と同じだが、真ん中の符号がマイナス。両端は2乗だから常に「+」、真ん中だけ「−」。
x² − 2·x·4 + 4²
= x² − 8x + 16
(3a)² − 2·(3a)·(2b) + (2b)²
= 9a² − 12ab + 4b²
- (a − b)² の最後の項は (−b)² = +b²。マイナスを2乗すると＋になることを忘れない。
- 「2乗 = ( )² = 必ず＋」と覚える。
③ (a + b)(a − b) ── 和と差の積
(a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b²
中央の −ab + ab = 0 で消える
= a² − b²
「同じ文字の 和と差 の積」は、2乗の差になる。中央が消えるのが特徴。
= x² − 6²
= x² − 36
= (2a)² − 7²
= 4a² − 49
④ (x + a)(x + b) ── 和と積で決まる
(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
= x² + (a + b)x + ab
x の係数は 2つの数の和 (a+b)、定数項は 2つの数の積 ab。これが因数分解で逆向きに使う鍵。
和 2+5 = 7、積 2·5 = 10
= x² + 7x + 10
和 (−3) + 4 = 1、積 (−3)·4 = −12
= x² + x − 12
図形的に納得する
(a + b)² は、1辺 (a + b) の正方形の面積。正方形を縦横で a と b に分けると、4つの長方形に分かれる：
┌───┬───┐
│a² │ab │
├───┼───┤
│ab │b² │
└───┴───┘
a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
- (x + 3)² = x² + 9 と書いてしまう間違いが超頻出。真ん中の 2ab（=6x）が抜けてはダメ。
- 「2乗 = 自分自身を2回かける」なので、(x+3)² = (x+3)(x+3) と一度書けば抜けない。
- 暗算しすぎず、最初は a と b を明示してから代入する習慣を。
この章でつまずきやすいところ
乗法公式は形を見抜いて当てはめるのが命。でも、本文を読み進める途中で「これってどの公式？」「真ん中の符号は？」と手が止まりやすい場面が決まっています。迷いやすい瞬間だけを取り出して、その場で立て直す方法を整理します。
(a+b)² を a²+b² だけで済ませてしまう
- つまずく場面：本文の例で (x+3)² を見たとき、つい頭の中で「xの2乗と3の2乗を足せばいい」と処理してしまい、真ん中の項を書き忘れて先に進もうとする瞬間がある。
- 克服のコツ：見分け方で整理する。「2乗」=「自分自身を2回かける」と思い出し、(x+3)² を一度 (x+3)(x+3) に書き戻すクセをつける。公式①は「自分の2乗 + 2倍の積 + 相手の2乗」の3項セットで、真ん中の 2ab を抜いたら公式ではない、と覚える。
- ミニ例：(x+3)² を見たら、まず a=x, b=3 と書き出す。x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9。「x²+9」で止まったら2abが抜けたサイン。
(a−b)² の最後の項を −b² にしてしまう
- つまずく場面：(x−4)² を展開している途中、真ん中をマイナスにしたあとの勢いで、最後の 4² まで「−」を引きずってしまい、x²−8x−16 と書きそうになる場面。
- 克服のコツ：因果関係で整理する。マイナスがつくのは 2ab に対する符号だけで、両端は「(−b)² = +b²」になるから必ず＋。「2乗の項は必ずプラス」と決めうちして、真ん中だけ符号を入れ替える、と手順を分けると崩れない。
- ミニ例：(x−4)² なら、両端は x² と +16 で固定。真ん中だけ −2·x·4 = −8x。結果は x² − 8x + 16 で、最後が +16 になっているか必ず見直す。
(x+a)(x+b) で「和」と「積」の役割を取り違える
- つまずく場面：(x−3)(x+4) を見た瞬間、「−3 と 4 を足して定数項、掛けて x の係数」と逆向きに当てはめてしまい、x² − 12x + 1 のように書きそうになる場面。
- 克服のコツ：位置関係で整理する。展開した式の並びは x² + (a+b)x + ab。x の係数の位置にいるのは「和」、定数項の位置にいるのは「積」と、置き場所で覚える。先に a+b と ab を別々に書き出してから x² の式に貼り付けると入れ違いを防げる。
- ミニ例：(x−3)(x+4) は、和 (−3)+4 = 1、積 (−3)·4 = −12。これを x² + (和)x + (積) の枠に入れて x² + x − 12。
和と差の積を見たのに (a−b)² の公式を当ててしまう
- つまずく場面：(2a+7)(2a−7) を見て「同じ文字が2回出てくる→2乗の公式かな」と早合点し、(2a−7)² の形と混同して 4a² − 28a + 49 と書き始めてしまう場面。
- 克服のコツ：見分け方で整理する。かっこの中身が「+」と「−」で対になっているかを最初に確認する。対になっていれば公式③ (a+b)(a−b) = a²−b² で 中央が消える。両方とも同じ符号なら平方公式。「符号がペアか単独か」で枝分かれさせる。
- ミニ例：(2a+7)(2a−7) は符号がペア → 公式③。(2a)² − 7² = 4a² − 49。中央項が残っていたら公式の選び方を間違えたサイン。
練習問題
- (x + 5)²
- (x − 7)²
- (2x + 3)²
- (3a − 4b)²
答えを見る
(1) x² + 10x + 25
(2) x² − 14x + 49
(3) 4x² + 12x + 9
(4) 9a² − 24ab + 16b²
- (x + 8)(x − 8)
- (3a + 5)(3a − 5)
- (2x + y)(2x − y)
答えを見る
(1) x² − 64
(2) 9a² − 25
(3) 4x² − y²
- (x + 4)(x + 6)
- (x − 2)(x + 9)
- (x − 3)(x − 7)
- (x − 5)(x + 5)
答えを見る
(1) 和 10、積 24 → x² + 10x + 24
(2) 和 7、積 −18 → x² + 7x − 18
(3) 和 −10、積 21 → x² − 10x + 21
(4) 和と差の積 → x² − 25
- (a + 1)²
- (2x − 3)(2x + 3)
- (x + 6)(x − 4)
- (y − 10)²
答えを見る
(1) ①：a² + 2a + 1
(2) ③：4x² − 9
(3) ④：x² + 2x − 24
(4) ②：y² − 20y + 100
まとめ
- 4つの乗法公式：(a±b)²、(a+b)(a−b)、(x+a)(x+b)。
- (a+b)² と (a−b)² は 真ん中の符号だけ違う。両端は必ず＋（2乗だから）。
- (a+b)(a−b) は中央が消えて a² − b²。和と差の積パターンを見逃さない。
- (x+a)(x+b) は 和 (a+b) が x の係数、積 ab が定数項。
- 暗算で 2ab を忘れがち。a と b を明示してから代入する習慣を。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
「和と差の積」で大きなかけ算を暗算する実生活
(a+b)(a−b)=a²−b² を使うと、97×103 のような計算が 100²−3²=10000−9=9991 と一瞬で出せます。中央が打ち消える性質を使えば、暗算やそろばん代わりの計算術として実際に役立ちます。
出典：Wikipedia「Multiplication algorithm（Quarter square multiplication）」
平方を表にして掛け算する「四分の一平方法」発展
ab=((a+b)²−(a−b)²)/4 という式は、乗法公式 (a±b)² から導けます。あらかじめ平方の表を用意しておけば、足し算・引き算だけで掛け算ができ、昔の計算機や計算術に実際に使われました。
出典：Wikipedia「Multiplication algorithm（Quarter square multiplication）」
因数分解で暗号を解く ── フェルマー法発展
大きな数Nを N=a²−b²=(a+b)(a−b) の形にできれば、その2つの因数に分解できます。これはフェルマーの因数分解法と呼ばれ、平方の差という乗法公式が素因数分解の道具になる例です。
インターネットの安全を守るRSA暗号実生活
ネット通信で使われるRSA暗号は、桁数の大きい合成数を素因数分解するのが現実的な時間では難しいことを安全の根拠にしています。因数分解の入口である乗法公式は、情報社会を守る数学につながっています。
2300年前のユークリッドも図で公式を証明していた発展
古代ギリシャの数学書『原論』第2巻には、正方形や長方形の面積を使って (a+b)²=a²+2ab+b² にあたる関係を示す命題があります。教科書の面積図による説明は、はるか昔からの考え方を受け継いだものです。
高校の「平方完成」へつながる (a±b)²発展
高校では y=ax²+bx+c を y=a(x−p)²+q の形に直す「平方完成」を学び、二次関数のグラフの頂点を求めます。これは (a±b)² の公式を逆向きに使う技で、中3の乗法公式がそのまま土台になります。