乗法公式を解く・整理する5ステップ

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ステップ 1：ステップ1: 式の形を見て4つの公式から選ぶ

まずカッコの中身を観察して、(a+b)²型・(a−b)²型・(a+b)(a−b)型・(x+a)(x+b)型のどれに当てはまるかを判断します。同じカッコの2乗か、符号だけが違う積か、定数が違う積か、で見分けると迷いません。当てはまらないときは無理せず分配法則に戻します。

例題：(x+6)(x−6) は符号だけ違うので和と差の積、(x+3)² は同じカッコの2乗なので和の平方を選ぶ。

ステップ 2：ステップ2: a と b を書き出して公式に当てはめる

選んだ公式のa と b が何にあたるかを式の下に書き出します。暗算で一気にやると符号や2倍を落としやすいので、最初は明示してから代入するのが安全です。(2x+5)² のように係数つきの場合も、a=2x のように丸ごとひとかたまりとして扱います。

例題：(2x+5)² → a=2x, b=5 と書き、(2x)² + 2·(2x)·5 + 5² の形に当てはめる。

ステップ 3：ステップ3: 真ん中の2abと両端の2乗を計算する

和の平方・差の平方では真ん中の項 2ab の「2倍」を忘れないのが最大のコツです。両端は2乗なので必ず＋になります。(x+a)(x+b)型では和(a+b)がxの係数、積abが定数項になることを確認しながら書きます。

例題：(x+3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9。2x の項を落とさない。

ステップ 4：ステップ4: 符号と消える項をチェックする

(a−b)² は真ん中だけマイナス、両端の (−b)² は＋bになります。(a+b)(a−b) は中央の −ab+ab が消えてa²−b²になるのが特徴。符号を間違えやすいので、書き終えたら「真ん中の符号」「両端は＋」を必ず確認します。

例題：(x−4)² = x² − 8x + 16。(2a+7)(2a−7) = (2a)² − 7² = 4a² − 49。

ステップ 5：ステップ5: 不安なら分配法則で検算する

公式に合うかどうか迷ったときや答えに自信がないときは、カッコをそのまま分配法則で1項ずつ掛けて確認します。公式は分配法則の特別な形なので、結果が一致すれば正しい展開です。展開後の項の数・符号・係数を見直すクセをつけましょう。

例題：(x+2)(x+5) を分配で展開 → x²+5x+2x+10 = x²+7x+10。和7・積10と一致して安心。

これだけは覚える

4つの乗法公式は (a±b)²、(a+b)(a−b)、(x+a)(x+b)。和の平方と差の平方は真ん中の符号だけ違う。両端は2乗なので必ず＋。和と差の積は中央が消えてa²−b²。(x+a)(x+b)は和がxの係数、積が定数項。

(x+3)² を x²+9 と書く2ab抜け、(a−b)²の最後を −b²にする符号ミス、a²−b² を (a−b)²と混同する公式の取り違えが頻出。(x+a)(x+b)で定数項を a+bにしてしまうのも、和と積の役割の混同です。