置き換え（カタマリの導入）
同じカタマリが繰り返し出てくる式は、そのカタマリを1文字 M（または A）に置き換える。すると公式の形に変身します。
x + y = M と置く
(M + 2)(M − 2)
= M² − 4 ← 和と差の積
M を戻す：(x + y)² − 4
= x² + 2xy + y² − 4
a − b = M と置く
(M + 3)² = M² + 6M + 9
M を戻す：(a − b)² + 6(a − b) + 9
= a² − 2ab + b² + 6a − 6b + 9
3項の積 ── (a + b + c)(d + e + f) など
置き換えできない3項どうしの積は、すべての項の組み合わせを書き出す。3項×3項なら9つの項。
9個の積を全部作る：
x·x + x·(−y) + x·3 + y·x + y·(−y) + y·3 + 2·x + 2·(−y) + 2·3
= x² − xy + 3x + xy − y² + 3y + 2x − 2y + 6
同類項：−xy + xy = 0、3x + 2x = 5x、3y − 2y = y
= x² − y² + 5x + y + 6
共通部分があるときの置き換え
a² − b² の形（a = x+2y, b = x−2y）
= (a + b)(a − b) ← 和と差の積を逆向き
a + b = (x+2y) + (x−2y) = 2x
a − b = (x+2y) − (x−2y) = 4y
= 2x · 4y = 8xy
かっこを含む複雑な展開
2つずつ順番に展開する。まず (x+1)(x+2)
= x² + 3x + 2
これに (x+3) をかける
(x² + 3x + 2)(x + 3)
= x³ + 3x² + 3x² + 9x + 2x + 6
= x³ + 6x² + 11x + 6
符号を間違えない工夫
- −(a + b)² は、先に (a+b)² を展開してから、全体に −1 をかける。つまり −(a² + 2ab + b²) = −a² − 2ab − b²。
- 例：(x+3)² − (x−2)² → (x²+6x+9) − (x²−4x+4) = 6x+9+4x−4 = 10x + 5。後ろの ( ) の中身すべてに −1 がかかるのがミソ。
- (x − 2)² の展開で、最後の項は (−2)² = +4。最終的に x² − 4x + 4（真ん中だけマイナス）。
計算の工夫 ── 暗算ショートカット
99 = 100 − 1 と見て、(100 − 1)²
= 100² − 2·100·1 + 1²
= 10000 − 200 + 1
= 9801
53 × 47 = (50 + 3)(50 − 3) ← 和と差の積
= 50² − 3²
= 2500 − 9
= 2491
展開公式の応用パターン
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca（3項の2乗）
- (x² − 1) 型：(x+1)(x−1) を見つけて展開
- (x+a)(x+b)：x² + (a+b)x + ab
- (ax+b)(cx+d)：acx² + (ad+bc)x + bd
- 同じカタマリが 複数回出てきたら置き換えのチャンス
- (x+y+1)(x+y−1)：x+y を M に置き換え → (M+1)(M−1) = M² − 1
- 置き換えるカタマリは、式の両方に共通して見える部分を選ぶ。迷ったら、同じ並びの文字や式を線で囲んで探す。
- 置き換え後は 必ず元に戻すこと（最終的に展開して整理）
- (a + b + c)² の場合：
- = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
- 各項の2乗 + 各組合せの2倍
- 例：(x+y+2)² = x² + y² + 4 + 2xy + 4y + 4x
練習問題
- (x + y + 3)(x + y − 3)
- (a − b + 1)²
- (x + y)² − (x − y)²
答えを見る
(1) (M+3)(M−3) = M²−9 = (x+y)²−9 = x² + 2xy + y² − 9
(2) (M+1)² ＝ M²+2M+1 = (a−b)²+2(a−b)+1 = a² − 2ab + b² + 2a − 2b + 1
(3) {(x+y)+(x−y)}·{(x+y)−(x−y)} = 2x·2y = 4xy
- (x − 1)(x + 1)(x² + 1)
- (a + b)(a + b + c)
答えを見る
(1) (x−1)(x+1) = x²−1。続いて (x²−1)(x²+1) = x⁴−1 → x⁴ − 1
(2) a² + ab + ac + ab + b² + bc = a² + 2ab + b² + ac + bc
- 101²
- 62 × 58
- 97²
答えを見る
(1) (100+1)² = 10000+200+1 = 10201
(2) (60+2)(60−2) = 3600−4 = 3596
(3) (100−3)² = 10000−600+9 = 9409
まとめ
- 同じカタマリが繰り返すとき：M で置き換えると公式の形に。
- 3項×3項：すべての組み合わせ 9個の項 を作って同類項整理。
- かっこ前のマイナスは、かっこの中を展開した後に全体に −1。
- 計算の工夫：99² や 53×47 のような数値計算も、和と差の積や (100±a)² で速攻処理できる。