因数分解とは
(x + 2)(x + 3) ────（展開）────→ x² + 5x + 6
(x + 2)(x + 3) ←─（因数分解）─── x² + 5x + 6
共通因数のくくり出し
すべての項に共通する 因数（かけ算の部品） を見つけ、分配法則の逆でかっこの外に出す。
教科書の言い方では、多項式を いくつかの因数の積として表すのが因数分解です。だから答えは、できるだけ かっこの積の形で終わらせます。
3x = 3·x、6 = 3·2 → 共通因数は 3
3x + 6 = 3·x + 3·2 = 3(x + 2)
4a² = 4a·a、8a = 4a·2 → 共通因数は 4a
= 4a(a − 2)
6 と 9 の最大公約数 3、文字は両方に x → 共通因数 3x
= 3x(2x + 3)
共通因数の取り方 ── 数と文字、それぞれの最大
共通因数を見つけるコツは2つに分けて考えること：
- 数の部分：係数の 最大公約数（GCD） をとる。
- 文字の部分：すべての項に共通して含まれる文字を、最も少ない次数でとる。
数：12, 8, 4 の GCD は 4
x：x², x, x → 最低次数 x
y：y, y², y → 最低次数 y
共通因数 = 4xy
12x²y − 8xy² + 4xy = 4xy·3x − 4xy·2y + 4xy·1
= 4xy(3x − 2y + 1)
- 4xy(3x − 2y + 1) で、最後の +1 を書き忘れる人が多発。
- くくり出した後、項の数は変わらない。元が3項なら、かっこの中も3項。
- 確認は 展開して元に戻るかでチェック。展開して 4xy·3x − 4xy·2y + 4xy = 12x²y − 8xy² + 4xy ◯。
マイナスを共通因数に含める
最初の項がマイナスのときや、全体を整えたいときは、マイナスごと外に出す。
共通因数として −3a を取る
= −3a(2a + 3)
かっこの中の符号がすべて反転する点に注意。
共通する「式」をくくり出す
共通因数は数や文字だけでなく、かっこを含む式のこともある。
両方の項に共通の (x + 1) を外に出す
= (x + 1)(a + b)
共通因数 (x − 3) をくくる
= (x − 3)(x − 4)
- 6x² + 12x → 2(3x² + 6x) で止めず、もう一歩 → 6x(x + 2) まで取り切る。
- 共通因数を見つけたら「これより大きい共通部分はないか？」と確認する習慣を。
- 因数分解は 最後までやって完成。途中で止めると次の操作（公式の適用）が見えない。
共通因数を先に見る理由
- 因数分解では、すべての項に共通してかかっている数や文字を最初に取り出す。
- 共通因数を取り出すと、残りの式が公式の形になることが多い。
- 係数の最大公約数、文字の最小指数をセットで見る。
- 取り出したあとは、展開して元に戻るか確認する。
係数の共通因数は3、文字はxとyが共通。したがって 3xy(2x−3y)。
練習問題
- 2x + 6
- 5a² − 10a
- 3y + 9
- 6m² − 8m
答えを見る
(1) 2(x + 3) (2) 5a(a − 2) (3) 3(y + 3) (4) 2m(3m − 4)
- 4xy + 8x
- 6a²b − 9ab²
- 12x²y − 18xy² + 6xy
答えを見る
(1) 4x(y + 2)
(2) 3ab(2a − 3b)
(3) 6xy(2x − 3y + 1) ← 最後の +1 を忘れない
- −5x − 10
- x(a − 2) + 3(a − 2)
- (x + 1)(x − 1) − 2(x − 1)
答えを見る
(1) −5(x + 2)
(2) (a − 2)(x + 3)
(3) (x − 1){(x + 1) − 2} = (x − 1)(x − 1) = (x − 1)²
まとめ
- 因数分解 = 展開の逆。「足し算 → 掛け算の形」。
- 最初の一手は必ず 共通因数のくくり出し。
- 共通因数は 数のGCD × 文字の最低次数。
- くくり出した後、項の数は変わらない。+1 を忘れない。
- 共通因数は (x − 3) のような かっこを含む式 でも構わない。
- 不安なら 展開して元に戻るかで確認。