4つの公式（逆向き）
① a² + 2ab + b² = (a + b)²
② a² − 2ab + b² = (a − b)²
③ a² − b² = (a + b)(a − b)
④ x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
① ② 平方の形 ── (a ± b)²
3項式で、両端が2乗、真ん中が ±2ab のとき、(a ± b)² の形になる。
両端：x² = x²、9 = 3²
真ん中：6x = 2·x·3 ◯（合致）
= (x + 3)²
両端：x²、25 = 5²
真ん中：−10x = −2·x·5 ◯
= (x − 5)²
両端：4a² = (2a)²、9 = 3²
真ん中：12a = 2·(2a)·3 ◯
= (2a + 3)²
③ 2乗の差 ── a² − b²
項が2つで 引き算、両方とも 2乗の形 のとき。
x² = x²、16 = 4²
= (x + 4)(x − 4)
9a² = (3a)²、25b² = (5b)²
= (3a + 5b)(3a − 5b)
- x² + 16 のような「2乗の和」は中3範囲では 因数分解できない（高校で複素数を使う）。
- 「+」だけ見て安易に (x + 4)(x + 4) としない。(x+4)² = x² + 8x + 16 なので不一致。
④ x² + (a + b)x + ab の分解 ── 和と積を探す
「x² + (係数)x + (数)」の形で、かけて定数項、足して x の係数 になる2数を探す。
見つからないときは、無理に作らない。教科書でも、整数の組で条件を満たすものがない場合は、この形では因数分解できないものとして扱います。
x² + 5x + 6 の場合：
① 定数項 6 = 1·6 = 2·3 = (−1)·(−6) = ...
② そのうち和が 5 になる組合せ：2 + 3 = 5 ◯
→ (x + 2)(x + 3)
積 12、和 7 になる2数 → 3, 4
= (x + 3)(x + 4)
積 6、和 −5 → −2, −3
= (x − 2)(x − 3)
積 −8（異符号）、和 2 → +4, −2
= (x + 4)(x − 2)
積 −12（異符号）、和 −1 → −4, +3
= (x − 4)(x + 3)
符号のルール ── 一目で見抜く
| 定数項 | x の係数 | 2数の符号 |
|---|---|---|
| ＋ | ＋ | 両方 ＋ |
| ＋ | − | 両方 − |
| − | ＋ | 絶対値の大きい方が ＋ |
| − | − | 絶対値の大きい方が − |
- 定数項が大きいほど候補が増える。素因数分解で組み合わせをすべて出す習慣を。
- x² + 7x + 12 → 12 = 1·12 / 2·6 / 3·4 → 和が 7 になるのは 3+4。
- 正負の組合せが必要なときは、絶対値で考えてから符号を決める。
練習問題
- x² + 8x + 16
- x² − 12x + 36
- 9a² + 6a + 1
答えを見る
(1) (x + 4)² (2) (x − 6)² (3) (3a + 1)²
- x² − 9
- 4x² − 25
- a² − b²
- 49 − x²
答えを見る
(1) (x + 3)(x − 3) (2) (2x + 5)(2x − 5) (3) (a + b)(a − b) (4) (7 + x)(7 − x)
- x² + 9x + 14
- x² − 7x + 10
- x² + 3x − 10
- x² − 4x − 21
答えを見る
(1) 積14、和9 → 2,7 → (x + 2)(x + 7)
(2) 積10、和−7 → −2,−5 → (x − 2)(x − 5)
(3) 積−10、和3 → 5,−2 → (x + 5)(x − 2)
(4) 積−21、和−4 → −7,3 → (x − 7)(x + 3)
- x² + 14x + 49
- x² − 100
- x² + x − 6
- x² − 16x + 64
答えを見る
(1) ①：(x + 7)² (2) ③：(x + 10)(x − 10) (3) ④：(x + 3)(x − 2) (4) ②：(x − 8)²
まとめ
- 因数分解の4公式は 乗法公式の逆向き。展開公式を確実にしてから入る。
- (a ± b)² の見分け：両端が2乗、真ん中が ±2ab。
- a² − b² の見分け：2項・引き算・両方2乗。和（+）は分解できない。
- x² + (a+b)x + ab：かけて定数、足して係数の2数を探す。
- 符号は 定数項の符号 × x の係数の符号から判別できる。