二次方程式の定義
x² = 4 → x² − 4 = 0
x² + 5x + 6 = 0
3x² − 2x − 1 = 0
(x − 1)² = 9 → x² − 2x − 8 = 0
なぜ a ≠ 0 か
もし a = 0 なら、ax² の項が消えて bx + c = 0、つまり 一次方程式になってしまう。だから「二次」を名乗るには x² の係数が0でないことが必須。
2x² − 3x = 5 → 2x² − 3x − 5 = 0 ○ 二次
3x + 2 = 0 × 一次
x² + 2x + 1 = (x + 1)² ○ 整理すると 0 = 0、これは方程式ではなく恒等式
解とは ── 等式を成り立たせる x
方程式を 成り立たせる x の値を「解」という。二次方程式の解は最大 2つ。
x = 2 を代入：4 − 10 + 6 = 0 ◯
x = 3 を代入：9 − 15 + 6 = 0 ◯
よって解は x = 2, 3 の 2つ
解の個数 ── 3パターン
- 異なる2つの解（基本パターン）：例 x² − 5x + 6 = 0 → x = 2, 3
- 重解（解が1つだけ）：例 (x − 2)² = 0 → x = 2 のみ
- 実数解なし（中3では「解なし」と扱う）：例 x² + 1 = 0
x² − 4x + 4 = 0
→ (x − 2)² = 0 → x − 2 = 0 → x = 2（重解）
x² + 4 = 0 → x² = −4
2乗して負になる実数はない → 解なし
一次方程式との違い
| 一次 | 二次 | |
|---|---|---|
| 形 | ax + b = 0 | ax² + bx + c = 0 |
| 解の個数 | 1つ | 0〜2つ |
| 解き方 | 移項のみ | 4つの方法 |
解き方の4つの選択肢（次回以降）
- 平方根を利用（x² = k や (x + p)² = q の形）
- 平方完成（(x + p)² = q の形に変形）
- 因数分解で解く（積 = 0 を利用）
- 解の公式（万能だが計算がやや手間）
問題によって最適な方法は変わる。因数分解できれば最速、できないときは 解の公式に頼る、というのが基本の使い分け。
- x² + 2x + 1 = (x + 1)² のように、整理したら方程式ではなく恒等式（常に成り立つ式）になることもある。
- 「二次方程式の形にして」と言われたら、右辺 = 0 に整えるのが最初の作業。
- (x + 3)² = 16 のような形は、そのまま平方根で解けるので「無理に展開しない」のも大事。
- 二次方程式の実数解は 0, 1, 2個のいずれか
- 解2つ：x² = 9 → x = ±3
- 解1つ（重解）：(x − 5)² = 0 → x = 5（1つだけ）
- 解なし：x² + 4 = 0 → x² = −4 で実数なし
- 方程式：「x の値を求める」（解を出す）
- 関数：「x の値に対応する y を見る」（グラフを描く）
- x² + 3x + 2 = 0 は方程式（x = −1, −2）
- y = x² + 3x + 2 は関数（放物線のグラフ）
- 関数のグラフが x 軸と交わる点が方程式の解
二次方程式として見るポイント
- 二次方程式は、整理すると ax²+bx+c=0（a≠0）の形になる方程式。
- まず右辺を0にし、同類項をまとめて次数を確認する。
- x²の項が消えるなら二次方程式ではなく一次方程式になる。
- 解は、代入したときに等式を成り立たせるxの値。出た答えは元の式で確認する。
積が0なので、x+1=0 または x−4=0。解は x=−1, 4。
練習問題
- 2x + 3 = 0
- x² = 9
- x² + 2x + 1 = (x + 1)²
- 3x² − x = 2
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(1) 一次方程式 (2) 二次方程式（x² − 9 = 0） (3) 整理すると 0 = 0 で恒等式、方程式ではない (4) 二次方程式（3x² − x − 2 = 0）
次のうち、x² − 5x + 6 = 0 の解はどれか。すべて選べ。
- x = 1
- x = 2
- x = 3
- x = 6
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代入して 0 になるもの：(2) と (3)
(1) 1−5+6 = 2 × (2) 4−10+6 = 0 ◯ (3) 9−15+6 = 0 ◯ (4) 36−30+6 = 12 ×
- x² = 9 の解は何個？ 値は？
- (x − 5)² = 0 の解は何個？ 値は？
- x² + 4 = 0 の実数解は？
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(1) 2個、x = ±3
(2) 1個（重解）、x = 5
(3) なし（x² = −4 となり実数解なし）
まとめ
- 二次方程式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0） の形。
- 解は 最大2つ。重解1つ、解なし0つ、もありえる。
- 解き方は 平方根／平方完成／因数分解／解の公式 の4種。
- 最初の作業は 右辺 = 0 に整えること。
- 解の確認は 代入して 0 になるか でチェックできる。