x² = k のパターン
公式
x² = k の解き方
x² = k（k ≧ 0）の解は x = ±√k。
例1：x² = 9
x = ±√9 = ±3
→ x = 3 または −3
例2：x² = 5
x = ±√5
例3：x² = 0
x = 0（重解、1つだけ）
例4：x² = −4
2乗して負になる実数はない → 解なし
ax² = b のパターン ── まず x² の係数を1に
例5：3x² = 12
両辺を3で割って x² = 4
x = ±2
例6：5x² − 10 = 0
5x² = 10 → x² = 2
x = ±√2
(x + p)² = q ── かっこを1つの数として
公式
(x + p)² = q の解き方
(x + p)² = q（q ≧ 0）の解は x + p = ±√q → x = −p ± √q。
例7：(x − 2)² = 9
x − 2 = ±3
x = 2 + 3 または 2 − 3
→ x = 5 または −1
例8：(x + 1)² = 7
x + 1 = ±√7
x = −1 ± √7
例9：3(x − 4)² = 12
両辺÷3：(x − 4)² = 4
x − 4 = ±2 → x = 6 または 2
展開済みの式を (x + p)² = q に戻す（平方完成）
x² + 4x − 5 = 0 のように、最初から展開された形でも、平方の形に戻せる場合は平方根で解ける。
例10：x² + 4x − 5 = 0 を平方完成で
移項：x² + 4x = 5
両辺に「x の係数の半分の2乗」を加える：(4/2)² = 4
x² + 4x + 4 = 5 + 4
(x + 2)² = 9
x + 2 = ±3
x = 1 または −5
例11：x² − 6x + 1 = 0
x² − 6x = −1
(6/2)² = 9 を足す
x² − 6x + 9 = 8
(x − 3)² = 8
x − 3 = ±2√2
x = 3 ± 2√2
つまずきポイント：±と符号
- (x − 2)² = 9 の解で、x − 2 = ±3 → x = 2 ± 3。2 ± 3 は 5 と −1。
- 「x − 2 = ±3 から x = ±3 + 2」と書く順番でもOK。順番を間違えると符号ミス。
- 「平方根は ±2つ出る」と意識して、両方の解を最後まで残す。
平方根で解ける形を作る
- x²=k の形になったら、kが正なら x=±√k、k=0なら x=0。
- kが負なら、中学の実数範囲では解なし。
- (x+p)²=q の形は、x+p をひとつの文字のように見て ±√q を考える。
- 両辺の平方根を取るとき、±を忘れない。
例：(x−3)²=20
x−3=±√20=±2√5。したがって x=3±2√5。
練習問題
問題1（x² = k 型）
次を解け。
- x² = 25
- x² = 11
- 4x² = 36
- x² − 7 = 0
答えを見る
(1) x = ±5 (2) x = ±√11 (3) x² = 9, x = ±3 (4) x² = 7, x = ±√7
問題2（(x+p)² = q 型）
次を解け。
- (x − 1)² = 16
- (x + 3)² = 25
- (x − 5)² = 7
- 2(x + 2)² = 18
答えを見る
(1) x − 1 = ±4 → x = 5, −3
(2) x + 3 = ±5 → x = 2, −8
(3) x = 5 ± √7
(4) (x+2)² = 9, x+2 = ±3 → x = 1, −5
問題3（平方完成）
平方完成して解け。
- x² + 2x − 8 = 0
- x² − 4x − 1 = 0
答えを見る
(1) x² + 2x = 8、+1 → (x+1)² = 9 → x = −1±3 = 2, −4
(2) x² − 4x = 1、+4 → (x−2)² = 5 → x = 2 ± √5
まとめ
- x² = k 型は x = ±√k（k ≧ 0）。k = 0 は重解、k < 0 は解なし。
- ax² = b は両辺を a で割って x² = k へ。
- (x + p)² = q 型は x = −p ± √q。
- 展開された式も 平方完成で (x + p)² = q に戻せる。
- 「x の係数の半分の2乗」を加えるのが平方完成のコツ。