解の公式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
覚え方
- 分母：2a
- 分子：−b ± √(b² − 4ac)
- √ の中（判別式）：b² − 4ac
- 声に出して「マイナスビー、プラスマイナス、ルートのなかは、ビーじじょうマイナスよんエーシー、ぜんぶ にエーぶんの」
使い方 ── a, b, c を拾って代入
a = 1, b = 5, c = 6
x = (−5 ± √(25 − 24)) / 2
= (−5 ± √1) / 2
= (−5 ± 1) / 2
→ x = −2 または −3
a = 1, b = −3, c = 1
x = (3 ± √(9 − 4)) / 2
= (3 ± √5) / 2
a = 2, b = 5, c = −3
x = (−5 ± √(25 + 24)) / 4
= (−5 ± √49) / 4 = (−5 ± 7) / 4
→ x = 1/2 または −3
計算の手順 ── 3ステップで
- 右辺 = 0 の形に整理し、a, b, c を抜き出す。
- 判別式 b² − 4ac を計算（√ の中身）。
- x = (−b ± √(判別式)) / 2a に代入し、できる限り簡単化。
判別式 ── 解の個数を見抜く
D > 0：異なる2つの実数解
D = 0：重解（1つだけ）
D < 0：実数解なし
x² + 3x + 1 = 0 → 9 − 4 = 5 > 0 → 異なる2つの解
x² − 4x + 4 = 0 → 16 − 16 = 0 → 重解（x = 2）
x² + 2x + 5 = 0 → 4 − 20 = −16 < 0 → 解なし
解の簡単化（約分・ルート簡単化）
a = 1, b = 2, c = −4
x = (−2 ± √(4 + 16)) / 2
= (−2 ± √20) / 2
√20 = 2√5
x = (−2 ± 2√5) / 2 = −1 ± √5 ← 約分も忘れずに
- b = −3 のとき、−b = +3。マイナスの2乗は (−3)² = 9（必ず＋）。
- −4ac の符号は c の符号で決まる。c = −3 なら −4·a·(−3) = +12a（プラスに）。
- 分子に共通因数があれば 必ず約分。(−2 ± 2√5)/2 → −1 ± √5 までやって完成。
- ルートの中は 必ず簡単化（√20 → 2√5 など）。
代入を文字で書く ── ミスを防ぐ書き方
a = 1, b = −7, c = 2 のとき：
x = (−(−7) ± √((−7)² − 4·1·2)) / (2·1)
= (7 ± √(49 − 8)) / 2
= (7 ± √41) / 2
「−b」「b²」「−4ac」を 1ステップずつ計算するとミスが激減。
練習問題
- x² − 5x + 3 = 0
- x² + 3x − 1 = 0
- x² − x − 1 = 0
答えを見る
(1) x = (5 ± √(25−12))/2 = (5 ± √13)/2
(2) x = (−3 ± √(9+4))/2 = (−3 ± √13)/2
(3) x = (1 ± √(1+4))/2 = (1 ± √5)/2
- 2x² + 3x − 1 = 0
- 3x² − 5x + 1 = 0
- 4x² − 4x − 1 = 0
答えを見る
(1) x = (−3 ± √(9+8))/4 = (−3 ± √17)/4
(2) x = (5 ± √(25−12))/6 = (5 ± √13)/6
(3) x = (4 ± √(16+16))/8 = (4 ± 4√2)/8 = (1 ± √2)/2
- x² + x + 1 = 0
- x² − 6x + 9 = 0
- 3x² + 5x − 1 = 0
答えを見る
(1) D = 1 − 4 = −3 < 0 → 解なし
(2) D = 36 − 36 = 0 → 重解
(3) D = 25 + 12 = 37 > 0 → 異なる2解
まとめ
- 解の公式：x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a。
- 使う前に ax² + bx + c = 0 の形に整理し、a, b, c を抜き出す。
- 判別式 D = b² − 4ac：D > 0：2解／D = 0：重解／D < 0：解なし。
- 分子の共通因数は 約分、ルートの中は 簡単化。
- 符号ミスを避けるには 1ステップずつ書く。特に b、c が負の場合。