原理：AB = 0 ならば A = 0 または B = 0
逆に、どちらも0でなければ積は0にならない。
これを使うと、(x − 2)(x − 3) = 0 → x − 2 = 0 または x − 3 = 0 → x = 2 または 3、というふうに 一次方程式2つに分割できる。
基本パターン：すでに因数分解された形
x − 4 = 0 または x + 1 = 0
→ x = 4 または −1
x = 0 または x − 5 = 0
→ x = 0 または 5
2x − 1 = 0 → x = 1/2
3x + 2 = 0 → x = −2/3
→ x = 1/2 または −2/3
応用：まず因数分解する
普通の二次方程式は 因数分解してから AB = 0 を使う。1章で学んだ因数分解の手順をフル活用する。
和 5、積 6 → 2, 3
(x + 2)(x + 3) = 0
x = −2 または −3
和 −7、積 12 → −3, −4
(x − 3)(x − 4) = 0
x = 3 または 4
和 2、積 −15 → 5, −3
(x + 5)(x − 3) = 0
x = −5 または 3
共通因数があるとき
共通因数 x：x(x − 6) = 0
x = 0 または 6
3x(x + 4) = 0
x = 0 または −4
- x² = 6x の両辺を x で割って x = 6 とすると、x = 0 という解が消えてしまう。
- 必ず 右辺を移項して = 0に：x² − 6x = 0 → x(x − 6) = 0 → x = 0, 6。
- 「0で割ってはいけない」が根本理由。x = 0 の可能性を消さないために、移項して因数分解。
2乗の差・平方の形も因数分解で
(x + 3)(x − 3) = 0
x = ±3（平方根でも解けるが、因数分解でもOK）
(x + 2)² = 0
x + 2 = 0 → x = −2（重解、1つ）
右辺が 0 でないとき
移項して = 0 の形に：x² − 5x − 6 = 0
和 −5、積 −6 → −6, 1
(x − 6)(x + 1) = 0
x = 6 または −1
(x − 1)² − 16 = 0
{(x − 1) + 4}{(x − 1) − 4} = 0
(x + 3)(x − 5) = 0
x = −3 または 5（平方根でも解ける）
- 判別式が 整数の2乗になれば因数分解可能（係数が整数のとき）。
- x² − 3x + 1 = 0 → D = 9 − 4 = 5（平方数でない） → 解の公式を使う。
- 因数分解 → 解の公式の順で試す。
練習問題
- (x − 3)(x + 7) = 0
- x² − 6x + 8 = 0
- x² + 9x + 14 = 0
- x² − 5x − 6 = 0
答えを見る
(1) x = 3, −7
(2) (x − 2)(x − 4) = 0 → x = 2, 4
(3) (x + 2)(x + 7) = 0 → x = −2, −7
(4) (x − 6)(x + 1) = 0 → x = 6, −1
- x² − 4x = 0
- 2x² + 6x = 0
- x² − 25 = 0
- x² − 10x + 25 = 0
答えを見る
(1) x(x − 4) = 0 → x = 0, 4
(2) 2x(x + 3) = 0 → x = 0, −3
(3) (x + 5)(x − 5) = 0 → x = ±5
(4) (x − 5)² = 0 → x = 5（重解）
- x² = 3x + 10
- x² + 8 = 6x
- (x − 2)² = 9
答えを見る
(1) x² − 3x − 10 = 0 → (x − 5)(x + 2) = 0 → x = 5, −2
(2) x² − 6x + 8 = 0 → (x − 2)(x − 4) = 0 → x = 2, 4
(3) 平方根で：x − 2 = ±3 → x = 5, −1
まとめ
- 原理：AB = 0 ならば A = 0 または B = 0。
- 因数分解できる式は 因数分解で解くのが最速。
- まず右辺 = 0 に整理 → 因数分解 → 一次方程式 2 本に分割。
- 「両辺を x で割る」は 禁止。x = 0 の解が消える。
- 判別式が平方数 → 因数分解可、そうでなければ 解の公式。