図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
定義 ── y は x の2乗に比例
用語
関数 y = ax²
y が x² に比例する関数。y = ax²（a ≠ 0）と書く。a を 比例定数という。
例：身近な y = ax²
y = 2x² → a = 2
y = −3x² → a = −3
y = x²/2 → a = 1/2
面積 y = πr²（円の面積）→ y = πr²、r² の係数は π
比例・一次関数との違い
| 比例 | 一次関数 | y = ax² | |
|---|---|---|---|
| 式 | y = ax | y = ax + b | y = ax² |
| 原点 | 通る | 通る場合のみ | 必ず通る |
| グラフ | 直線 | 直線 | 放物線 |
| x の符号で y は？ | 反転 | 反転 + 定数 | 2乗で反転しない |
値の対応 ── 対応表をつくる
例1：y = 2x² の対応表
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 18 |
x = ±2 のとき y = 2·4 = 8。x の符号が違っても y は同じ（2乗のため）。
例2：y = −x² の対応表
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | −4 | −1 | 0 | −1 | −4 |
a が負なので y は 常に 0 以下。
a の意味 ── 比例定数の役割
- a > 0：y は 0 以上。x = 0 で最小（y = 0）。
- a < 0：y は 0 以下。x = 0 で最大（y = 0）。
- |a| が大きいほど 急な変化（同じ x でも y が大きく動く）。
- x = ±1 のとき y = a → a の値は (1, a) を通ると覚える。
式を求める ── 1点が分かれば決まる
「y = ax² で、x = 3 のとき y = 18」のような問題：
例3：x = 3, y = 18 を通る y = ax²
18 = a·3² = 9a
a = 2
→ y = 2x²
例4：x = −2, y = −12 を通る y = ax²
−12 = a·(−2)² = 4a
a = −3
→ y = −3x²
関数の値の計算
例5：y = 3x² で x = 4 のとき y
y = 3·4² = 3·16 = 48
例6：y = (1/2)x² で y = 8 のとき x
8 = (1/2)x² → x² = 16 → x = ±4
つまずきポイント①：a と x² の符号
- y = −3·(−2)² と書くと −3 × (+4) = −12。(−2)² は ＋4（2乗で必ず＋）。
- x² と (−x)² は等しい。y = ax² なら x と −x で同じ y。
- 「a が負だから y も負」ではなく、a が負 ⇔ y ≦ 0。a が正なら y ≧ 0。
つまずきポイント②：y² = ax との混同
- y = ax²：y は x の2乗に比例（中3で学ぶ）
- y² = ax：y² は x に比例（高校で学ぶ）
- 形が似ているが 違う関数
- 「y イコール 何の関数か」を確認
つまずきポイント③：身近な y = ax²
- 円の面積：S = πr²（半径と面積の関係）
- 自由落下：y = (1/2)g·t²（時間と落下距離）
- 制動距離：車の速さの2乗に比例（速度を上げると急に止まれなくなる）
- 運動エネルギー：(1/2)mv²（質量と速さの関係）
練習問題
問題1（値の計算）
次の関数で、与えられた x の値に対する y を求めよ。
- y = x² で x = 5
- y = 3x² で x = −2
- y = −2x² で x = 4
- y = (1/3)x² で x = 6
答えを見る
(1) 25 (2) 12 (3) −32 (4) 12
問題2（式を求める）
y = ax² が次の点を通るとき a を求めよ。
- (2, 12)
- (−3, 18)
- (4, −16)
- (5, 5)
答えを見る
(1) 12 = 4a → a = 3 (2) 18 = 9a → a = 2 (3) −16 = 16a → a = −1 (4) 5 = 25a → a = 1/5
問題3（対応表と性質）
y = −x² について、x = −3, −2, ..., 3 の対応表を作り、y の最大値と最小値を答えよ（−3 ≦ x ≦ 3 の範囲で）。
答えを見る
対応表：x = ±3 → y = −9、x = ±2 → y = −4、x = ±1 → y = −1、x = 0 → y = 0
最大値 0（x = 0 のとき）、最小値 −9（x = ±3 のとき）
まとめ
- y = ax²：y が x² に比例する関数。a は比例定数。
- x = 0 で y = 0 → 必ず原点を通る。
- x の符号が違っても y は同じ（2乗だから）。
- a > 0 → y ≧ 0、a < 0 → y ≦ 0。|a| が大きいほど変化が急。
- 1点が分かれば a が決まり、関数が決まる。