図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
放物線とは
a > 0 と a < 0 ── 上開き／下開き
- a > 0：上に開く（お椀のような形）。原点が 最低点。y ≧ 0。
- a < 0：下に開く（傘のような形）。原点が 最高点。y ≦ 0。
a > 0： ＼ ／ ← y軸を境に対称
＼ ／
○ ← 原点（頂点）
a < 0： ○ ← 原点（頂点）
／ ＼
／ ＼
|a| の大きさ ── グラフの開き方
- |a| が 大きい ほど → グラフは 細く（急に） 開く。
- |a| が 小さい ほど → グラフは 広く（なだらかに） 開く。
- 原点を頂点として通る点：x = ±1 のとき y = a。
y = 3x² → (1, 3) を通る。比較的細い。
y = x² → (1, 1) を通る。普通。
y = (1/2)x² → (1, 1/2) を通る。広い。
y = ax² と y = −ax² ── x 軸対称
y = 2x² と y = −2x² は x 軸を中心に対称。
同じ x で y の値が 符号反転するから。
具体的にグラフをかく ── 5点プロット
テストで「グラフをかけ」と言われたら、x = −2, −1, 0, 1, 2 の5点を計算してプロットし、滑らかな曲線で結ぶ。
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
この5点を打って、なめらかに曲線で結ぶ。頂点は原点 (0, 0)。
| x | −4 | −2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
a = 1/2 なので分数が出にくいよう x を ±2, ±4 でとると整数値が出る。
y の値の範囲（変域）
x の範囲（変域）が決まると、それに応じて y の範囲も決まる。y = ax² は2乗だから単純に最小・最大を求めるとミスする。
x = 0 で y は最小（0）
x の絶対値が最大なのは x = 3 → y = 9（x = −2 のときは y = 4）
→ 0 ≦ y ≦ 9
a < 0 なので、x の絶対値が小さいほど y は大きい
x = 1 → y = −2、x = 3 → y = −18
→ −18 ≦ y ≦ −2
- x の変域が 原点（x=0）をまたぐ 場合、y = ax² の最大・最小は 原点と両端の3点で考える。
- 例：y = x² で −1 ≦ x ≦ 2 → 最小は y = 0（x = 0）、最大は y = 4（x = 2）。−1 のときの y = 1 は最大にも最小にもならない。
- x の変域が原点を含まない → 単純に両端で大小を決められる。
- a > 0 → 原点が 最小、両端のうち x の絶対値大きい方が 最大。
- a < 0 → 原点が 最大、両端のうち x の絶対値大きい方が 最小。
練習問題
- y = 2x²
- y = −3x²
- y = x²/4
- y = −x²/2
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a > 0 のもの：(1), (3)
- y = x² で −3 ≦ x ≦ 2
- y = 2x² で 1 ≦ x ≦ 4
- y = −x² で −2 ≦ x ≦ 3
答えを見る
(1) 原点をまたぐ、最小0、最大9（x = −3）→ 0 ≦ y ≦ 9
(2) 原点含まず、両端 x=1→y=2、x=4→y=32 → 2 ≦ y ≦ 32
(3) a<0、原点またぐ、最大 0、最小は x=3 → −9 → −9 ≦ y ≦ 0
y = ax² のグラフが (2, −12) を通るとき：
- a の値
- x = −3 のときの y の値
- このグラフは上向き／下向きどちらか
答えを見る
(1) −12 = 4a → a = −3
(2) y = −3·9 = −27
(3) a < 0 なので 下向き（下に開く）
まとめ
- y = ax² のグラフは 放物線。y 軸が対称軸、原点が頂点。
- a > 0 で上に開く、a < 0 で下に開く。
- |a| が大きいほど 細く、小さいほど 広く開く。
- 変域：x が 原点をまたぐかで、最大・最小の取り方が変わる。
- かくときは 5点プロット＋なめらかに結ぶ。