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一次関数と違い、放物線ではどの2点を選ぶかで傾きが変わります。だから「x が p から q まで」と範囲を確認してから計算することが大切です。
変化の割合の定義（復習）
x の増加量：5 − 2 = 3
y の増加量：5² − 2² = 25 − 4 = 21
変化の割合 = 21 ÷ 3 = 7
x の増加量：3 − 1 = 2
y の増加量：9 − 1 = 8
変化の割合 = 8 ÷ 2 = 4
例1と例2の結果が違う！ y = ax² では x の範囲によって変化の割合が変わる。
公式 ── y = ax² の変化の割合は a(p + q)
y の増加量 = aq² − ap² = a(q² − p²) = a(q + p)(q − p)
x の増加量 = q − p
割ると：a(q + p)(q − p) / (q − p) = a(p + q)
a = 1, p = 2, q = 5
変化の割合 = 1·(2 + 5) = 7 ← 例1と一致
a = 2, p = −1, q = 3
= 2·(−1 + 3) = 2·2 = 4
a = −3, p = 1, q = 4
= −3·5 = −15
一次関数との対比
| 変化の割合 | |
|---|---|
| 一次関数 y = ax + b | 常に a（一定） |
| y = ax²（x が p → q） | a(p + q)（範囲で変わる） |
放物線上の2点を結ぶ直線の傾きと一致
変化の割合は、グラフ上で 2点を結ぶ直線の傾きとイコール。これは一次関数でも y = ax² でも共通の感覚。
傾き = (25 − 4) / (5 − 2) = 7
これは y = x² で x が 2→5 のときの変化の割合と同じ。
応用：平均の速さ
距離 y、時間 x のとき、変化の割合は 平均の速さになる。物体が落下する問題などで定番。
a = 5, p = 1, q = 3 → 5·(1+3) = 20 m/秒
放物線と直線の関係
y = ax² 上の2点 P(p, ap²), Q(q, aq²) を通る直線の式：
傾き = a(p + q)
y切片を求めるには、1点を代入
例：y = x² 上の (1, 1) と (3, 9)
傾き = 1·(1+3) = 4
y = 4x + b に (1, 1) 代入 → b = −3
→ y = 4x − 3
平均速度と瞬間速度
- 平均の速さ：ある区間の平均 = 変化の割合
- 瞬間の速さ：その瞬間の速さ（高校で微分で求める）
- 例：自由落下 y = 5x² で、t=2秒のときの速さ ≒ 20 m/s
- 平均の速さは変化の割合 a(p+q) で求められる
変化の割合の応用パターン
① 変化の割合を求める：a(p+q) に代入
② a を求める：変化の割合と x の範囲から a を逆算
③ x の範囲を求める：変化の割合と a から p+q を出す
④ 2点を結ぶ直線の式：傾き = 変化の割合 と y切片
⑤ 1次関数の傾きと等しい：a(p+q) = 1次関数の傾き
- p = −2, q = 3 のとき、p + q = 1（負の数の足し算）。符号付きで計算する。
- x の増加量を「q − p」で求めるとき、p が負だと q − p = q + |p|。例：3 − (−2) = 5。
- 「公式 a(p + q)」を使えば、増加量を経由せず一発で出せる。
- 一次関数 y = ax + b の変化の割合は 常に a
- y = ax² の変化の割合は x の範囲で変わる
- 一次関数と y = ax² を比べる場合は「変化の割合が一定 → 一次関数」「変化する → 2次関数」と判別できる（変化の割合が一定でない関数は2次関数に限らない）
- x が p から q に増えるとき、2点の x 座標の和に a をかける
- 例：y = 2x² で 1→5 → 2·(1+5) = 12
- 例：y = −x² で −2→3 → −1·(−2+3) = −1
- 導出を理解しておくと忘れない
この章でつまずきやすいところ
y = ax² の「変化の割合」は、本文を読んでいるその場で混乱しやすい場所です。一次関数とのギャップ、公式 a(p+q) の意味、符号や区間の読み取り。読みながら手が止まる典型場面を3つ取り上げ、その場での迷いをほどきます。
y = ax² でも変化の割合は a だと思い込んでしまう
- つまずく場面：本文で「一次関数の変化の割合は常に a」と読んだ直後に y = ax² に進むと、つい「じゃあ y = 2x² の変化の割合も 2 だ」と書きそうになります。例1と例2で結果が違うと示されても、最初の刷り込みが残って迷いがちです。
- 克服のコツ：見分け方で整理します。式に x² が入っていれば「区間ごとに変わる」、入っていなければ「常に a」。本文を読むときは、まず式の形を見て「定数 a 型」か「a(p+q) 型」かをラベリングしてから例題に進むと、ブレません。
- ミニ例：y = 2x² で x が 1→3 のとき、変化の割合は 2 ではなく 2·(1+3) = 8。同じ y = 2x² でも x が 2→4 なら 2·(2+4) = 12 と変わります。
公式 a(p+q) の p と q を何に当てればよいか迷ってしまう
- つまずく場面：本文中の「x が p から q まで」という書き方を読み流すと、いざ a(p+q) に代入する場面で、p と q に y の値を入れるべきか、x の増加量を入れるべきか、一瞬手が止まります。とくに「1 から 4」と書かれていると p+q=3 と書きたくなる迷いが出ます。
- 克服のコツ：位置関係で覚えます。p と q は区間の両端の x 座標で、足し算するもの。引き算するのは「x の増加量 q − p」のときだけ。本文で「x が ◯ から △ まで」と出てきたら、その場で p=◯、q=△ とメモしてから公式に入ると安全です。
- ミニ例：y = x² で x が 1→4 のとき、p=1, q=4 なので p+q=5、変化の割合は 1·5 = 5。引き算の 4−1=3 を入れて 3 と書くのは誤りです。
負の x が混じると p+q の符号がこんがらかってしまう
- つまずく場面：本文の例4「y = 2x² で x が −1 から 3」を読んでいる途中、p+q の計算で頭が止まります。「マイナスとプラスを足す」のか「引き算になる」のか、増加量 q − p の場面と混ざって、−1 + 3 を −4 や 4 と書きそうになる迷いです。
- 克服のコツ：時系列で手順を分けます。①まず p と q を符号付きで書き出す（p = −1, q = 3）。②次に p+q を符号付きで計算する（−1+3 = 2）。③最後に a を前から掛ける。一行で済まそうとせず、ステップを分けて書くと符号ミスが消えます。
- ミニ例：y = −3x² で x が −2→1 のとき、p+q = −2+1 = −1、変化の割合は (−3)·(−1) = 3。p+q を 3 や −3 と書くのは符号の取り違えです。
練習問題
- y = x² で x が 1 から 4
- y = 2x² で x が −1 から 2
- y = −x² で x が 2 から 5
- y = (1/2)x² で x が −4 から 2
答えを見る
(1) 1·(1+4) = 5 (2) 2·(−1+2) = 2 (3) −1·(2+5) = −7 (4) (1/2)·(−4+2) = −1
y = ax² で、x が 2 から 5 まで増加したとき、変化の割合が −14 だった。a を求めよ。
答えを見る
a·(2 + 5) = −14 → 7a = −14 → a = −2
y = x² 上の2点 (1, 1) と (a, a²) を結ぶ直線の傾きが 5 のとき、a を求めよ。
答えを見る
傾き = 変化の割合 = 1·(1 + a) = 5 → a = 4
まとめ
- 変化の割合 = y の増加量 ÷ x の増加量。
- 一次関数は 常に一定（傾き a）、y = ax² は 範囲で変わる。
- y = ax² の変化の割合は a(p + q)（x が p → q）。
- 変化の割合 = 放物線上の 2点を結ぶ直線の傾きと一致。
- 物理では 平均の速さとして現れる。
もっと知る ── 発展・実生活（出典つき）
※ 教科書の内容に、信頼できる出典をもとにした発展・実生活・時事の話題を補足しています（教科書そのものではありません）。
落下距離は時間の2乗に比例する（自由落下）実生活
空気抵抗を無視して物を落とすと、落下距離は落下時間の2乗に比例し、重力の加速度（約9.8 m/s²）に時間の2乗を掛けた半分になります。最初の1秒間では約4.9 m、2秒間では約19.6 mと、ちょうど y=ax² の形になっています。だから落下の問題でx秒間の「平均の速さ」を出すことは、y=ax² の変化の割合 a(p+q) を求めることと同じなのです。
ガリレオが見つけた「落下の法則」発展
17世紀初め、ガリレオは斜面の実験などから、落体の運動が等加速度運動であり「通過距離は通過時間の2乗に比例する」ことを論証しました。これは y=ax² が現実の運動を表す最初の例の一つで、近代科学の出発点になりました。みなさんが学ぶ変化の割合は、その運動の「平均の速さ」を読み取る道具になっています。
平均の速さを縮めていくと「瞬間の速さ」になる発展
ある区間の平均の速さは、その区間での変化の割合のことです。区間の幅をどんどん小さくして限りなく0に近づけると、平均の速さは「瞬間の速さ」へと近づきます。中学で学ぶ変化の割合は、この極限として速さをとらえる高校の微分の考え方に、まっすぐつながっています。
投げたボールの軌道は放物線（y=ax²）実生活
ボールを斜めに投げ上げると、その軌道は放物線、つまり2次関数 y=ax² のグラフの形を描きます。たとえば外野手が同じ速さで投げても、角度によって届く距離が変わるのは放物線の性質によるものです。身の回りの「飛ぶもの」の動きには、2次関数がかくれています。
パラボラアンテナは放物線の性質を使っている実生活
放物線には、軸に平行に入ってきた光や電波が反射すると一点（焦点）に集まるという性質があります。衛星放送などを受けるパラボラアンテナは、断面を放物線（2次関数）の形にして、弱い電波を焦点に集めて強く受信しています。教科書の y=ax² が、こうした機器の設計の土台になっているのです。