図でつかむ
一次関数と違い、放物線ではどの2点を選ぶかで傾きが変わります。だから「x が p から q まで」と範囲を確認してから計算することが大切です。
変化の割合の定義（復習）
x の増加量：5 − 2 = 3
y の増加量：5² − 2² = 25 − 4 = 21
変化の割合 = 21 ÷ 3 = 7
x の増加量：3 − 1 = 2
y の増加量：9 − 1 = 8
変化の割合 = 8 ÷ 2 = 4
例1と例2の結果が違う！ y = ax² では x の範囲によって変化の割合が変わる。
公式 ── y = ax² の変化の割合は a(p + q)
y の増加量 = aq² − ap² = a(q² − p²) = a(q + p)(q − p)
x の増加量 = q − p
割ると：a(q + p)(q − p) / (q − p) = a(p + q)
a = 1, p = 2, q = 5
変化の割合 = 1·(2 + 5) = 7 ← 例1と一致
a = 2, p = −1, q = 3
= 2·(−1 + 3) = 2·2 = 4
a = −3, p = 1, q = 4
= −3·5 = −15
一次関数との対比
| 変化の割合 | |
|---|---|
| 一次関数 y = ax + b | 常に a（一定） |
| y = ax²（x が p → q） | a(p + q)（範囲で変わる） |
放物線上の2点を結ぶ直線の傾きと一致
変化の割合は、グラフ上で 2点を結ぶ直線の傾きとイコール。これは一次関数でも y = ax² でも共通の感覚。
傾き = (25 − 4) / (5 − 2) = 7
これは y = x² で x が 2→5 のときの変化の割合と同じ。
応用：平均の速さ
距離 y、時間 x のとき、変化の割合は 平均の速さになる。物体が落下する問題などで定番。
a = 5, p = 1, q = 3 → 5·(1+3) = 20 m/秒
放物線と直線の関係
y = ax² 上の2点 P(p, ap²), Q(q, aq²) を通る直線の式：
傾き = a(p + q)
y切片を求めるには、1点を代入
例：y = x² 上の (1, 1) と (3, 9)
傾き = 1·(1+3) = 4
y = 4x + b に (1, 1) 代入 → b = −3
→ y = 4x − 3
平均速度と瞬間速度
- 平均の速さ：ある区間の平均 = 変化の割合
- 瞬間の速さ：その瞬間の速さ（高校で微分で求める）
- 例：自由落下 y = 5x² で、t=2秒のときの速さ ≒ 20 m/s
- 平均の速さは変化の割合 a(p+q) で求められる
変化の割合の応用パターン
① 変化の割合を求める：a(p+q) に代入
② a を求める：変化の割合と x の範囲から a を逆算
③ x の範囲を求める：変化の割合と a から p+q を出す
④ 2点を結ぶ直線の式：傾き = 変化の割合 と y切片
⑤ 1次関数の傾きと等しい：a(p+q) = 1次関数の傾き
- p = −2, q = 3 のとき、p + q = 1（負の数の足し算）。符号付きで計算する。
- x の増加量を「q − p」で求めるとき、p が負だと q − p = q + |p|。例：3 − (−2) = 5。
- 「公式 a(p + q)」を使えば、増加量を経由せず一発で出せる。
- 一次関数 y = ax + b の変化の割合は 常に a
- y = ax² の変化の割合は x の範囲で変わる
- 「変化の割合が一定 → 一次関数」「変化する → 2次関数」と判別できる
- x が p から q に増えるとき、2点の x 座標の和に a をかける
- 例：y = 2x² で 1→5 → 2·(1+5) = 12
- 例：y = −x² で −2→3 → −1·(−2+3) = −1
- 導出を理解しておくと忘れない
練習問題
- y = x² で x が 1 から 4
- y = 2x² で x が −1 から 2
- y = −x² で x が 2 から 5
- y = (1/2)x² で x が −4 から 2
答えを見る
(1) 1·(1+4) = 5 (2) 2·(−1+2) = 2 (3) −1·(2+5) = −7 (4) (1/2)·(−4+2) = −1
y = ax² で、x が 2 から 5 まで増加したとき、変化の割合が −14 だった。a を求めよ。
答えを見る
a·(2 + 5) = −14 → 7a = −14 → a = −2
y = x² 上の2点 (1, 1) と (a, a²) を結ぶ直線の傾きが 5 のとき、a を求めよ。
答えを見る
傾き = 変化の割合 = 1·(1 + a) = 5 → a = 4
まとめ
- 変化の割合 = y の増加量 ÷ x の増加量。
- 一次関数は 常に一定（傾き a）、y = ax² は 範囲で変わる。
- y = ax² の変化の割合は a(p + q)（x が p → q）。
- 変化の割合 = 放物線上の 2点を結ぶ直線の傾きと一致。
- 物理では 平均の速さとして現れる。