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グラフ上では交点を探す問題ですが、計算では「同じ x で y も同じ」と考えて式を連立します。交点が2つなら、二次方程式の解も2つ出るのが自然です。
放物線と直線の交点
放物線 y = ax² と直線 y = mx + n の交点を求めるには、連立方程式を解く。x 座標は二次方程式 ax² = mx + n の解。
x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0 → x = 2 または −1
x = 2 のとき y = 4 → (2, 4)
x = −1 のとき y = 1 → (−1, 1)
交点は (2, 4) と (−1, 1)
2交点間の直線の式を求める
変化の割合（傾き）= 1·(−1 + 2) = 1
y = x + b に A(−1, 1) 代入：1 = −1 + b → b = 2
→ y = x + 2
三角形の面積 ── 原点と2交点
放物線と直線の問題の定番。直線と x 軸（または y 軸）の交点を底辺の端、放物線の交点や原点を頂点として、三角形の面積を求める。
三角形 OAB の面積：原点を頂点、底辺を AB の長さ … というのは難しいので、x 軸または y 軸を底辺にする方法が定番。
直線 y = x + 2 と x 軸の交点 C(−2, 0)、y 軸との交点 D(0, 2) を使う。
三角形 OAB = 三角形 ODB（高さ 2、底辺 |xB| = 2、面積 2） + 三角形 OCA（同様に計算） → 各自で図示。
頻出パターン：「直線の y 切片 × |xA − xB|（または x切片 × |yA − yB|）÷ 2」 の公式が使える。
動点と関数 ── x の値と図形の関係
AP = x、AQ = x
y = (1/2)·x·x = (1/2)x²
→ y = (1/2)x²（0 ≦ x ≦ 10）
(1/2)x² = 8 → x² = 16 → x = 4（正の値のみ）
→ 4秒後
物理：自由落下
物体が落下する距離 y[m] と時間 x[秒] の関係は y = (1/2)gx²（g ≒ 9.8 m/s²）。中学では教科書ごとに g = 10 や g = 9.8 で示す。
y = 5·2² = 20 m
5x² = 80 → x² = 16 → x = 4秒
放物線の対称性を使う
y = 9 → x = ±3 → (3, 9) と (−3, 9)。
放物線は y 軸対称だから、同じ y 座標を持つ 2 点は x 軸方向に対称。
三角形の面積公式（座標）
3点 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) の三角形の面積：
S = (1/2)|x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|
原点を含む場合は更にシンプル：
S = (1/2)|x₁y₂ − x₂y₁|（原点 O, A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) の三角形）
放物線の傾きの公式
y = ax² 上の 2点 P(p, ap²), Q(q, aq²) について、
変化の割合 = (aq² − ap²) / (q − p)
= a(q + p)(q − p) / (q − p)
= a(p + q)
→ 2点の x 座標の和に a をかけるだけ
例：y = x² 上の(−1, 1) と (3, 9) → 傾き = 1·(−1+3) = 2
等積変形を使った応用
- 等積変形：底辺を共有して、頂点を平行線上で動かしても面積は不変
- 「三角形 ABC と等しい面積をもつ三角形 ABP を作るには？」 → C を通る AB に平行な直線上に P を取る
- 放物線の問題で 面積を2等分する直線を求めるときに活用
- 放物線・直線・三角形の融合問題は 必ず図を描く。
- 原点・交点・座標軸との交点を すべて打ってから 公式を当てる。
- 底辺と高さの選び方で計算量が変わる。軸に平行な底辺がベスト。
- 動点問題では x の範囲（変域）に注意
- 正方形の1辺が10cmなら、動点が辺を進むときの x は 0 ≦ x ≦ 10
- 場合分け：辺を渡るタイミングで式が変わる
- 自由落下：y[m] = (1/2)gx²、x は秒、y はメートル
- g = 9.8 m/s² または問題で与えられる（10 で計算されることが多い）
- 単位を意識して立式する
練習問題
放物線 y = x² と直線 y = 2x + 3 の交点の座標を求めよ。
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x² = 2x + 3 → x² − 2x − 3 = 0 → (x − 3)(x + 1) = 0 → x = 3, −1
→ (3, 9) と (−1, 1)
y = x² 上の 2点 A(−2, 4)、B(3, 9) を結ぶ直線の式を求めよ。
答えを見る
傾き = 1·(−2 + 3) = 1
y = x + b に A 代入：4 = −2 + b → b = 6
→ y = x + 6
1 辺 6cm の正方形 ABCD で、P が AB を毎秒 1cm、Q が BC を毎秒 1cm で進む。x 秒後の △BPQ の面積 y を表せ。x = 4 のときの y は。
答えを見る
BP = 6 − x、BQ = x、y = (1/2)(6 − x)x = (1/2)(6x − x²)
x = 4 のとき y = (1/2)(24 − 16) = 4
まとめ
- 放物線と直線の交点：連立 → 二次方程式で求める。
- 2交点間の直線：傾きは 変化の割合 a(p + q)、切片は1点代入で決まる。
- 三角形の面積：軸に平行な底辺を選ぶと計算がラク。
- 動点問題：x と y の関係を 二次式で立てる。範囲（変域）も意識。
- 物理：自由落下 y = (1/2)gx² は y = ax² の典型例。