復習のポイント
- y = ax²：2次関数（中3範囲）、グラフは 放物線、原点を頂点
- a > 0：上に開く ／ a < 0：下に開く
- |a| が大きいほど開きが 狭い
- 変化の割合 = a(p + q)（x が p→q）
- 放物線と直線の交点：連立で求める
- x 軸対称：y = ax² と y = −ax²
この章でつまずきやすいところ
y=ax² の問題を解いている途中で、中学生は「x が負だから y も負」「a が大きいほど広がる」など、一次関数の感覚を引きずって迷うことが多いです。本文を読む途中に起きる代表的な迷いを場面ごとに整理します。
x が負なら y も負だと思い込んでしまう
- つまずく場面：問題に「y=3x² で x=−2 のとき y を求めよ」と書かれていて、x がマイナスだから答えもマイナスになる気がして、−12 と書きそうになる場面。一次関数の感覚を引きずって迷う瞬間です。
- 克服のコツ：因果関係で押さえます。先に x² を計算 → 次に a を掛ける順番を守れば符号は迷いません。x が負でも x² は必ず 0 以上なので、y の符号を決めるのは a の符号だけです。a>0 なら y は 0 以上、a<0 なら y は 0 以下になります。
- ミニ例：y=3x² で x=−2 → まず (−2)²=4、次に 3×4=12。y=−x² で x=5 なら 5²=25、−1×25=−25。符号は a が決めます。
a が大きいほどグラフが広がると思ってしまう
- つまずく場面：「y=(1/3)x² と y=3x²、開きが広いのはどちら」という問題で、a=3 のほうが数字が大きいから広く開きそうに感じて、3x² を選びそうになる場面。直感と教科書の説明がぶつかります。
- 克服のコツ：見分け方は |a| の大小で逆向きと覚えます。|a| が大きい=狭い、|a| が小さい=広い。x=1 を入れて y の値を比べると、y の伸びが大きい方が「狭く立ち上がる」グラフだと納得できます。
- ミニ例：x=1 で比べると、y=3x² は y=3、y=(1/3)x² は y=1/3。y が大きく伸びる 3x² の方が狭く、伸びがゆるい (1/3)x² の方が広く開きます。
変域でも両端が最大・最小だと思い込んでしまう
- つまずく場面：「y=x² で −3≦x≦1 のとき y の変域」を考えている途中、一次関数のつもりで両端の x=−3 と x=1 を代入し、最小を 1 にしてしまいそうになる場面。x=0 を通ることを忘れる瞬間です。
- 克服のコツ：位置関係で整理します。変域に x=0 を含むかどうかを最初に確認。含むなら原点が a>0 で最小、a<0 で最大になります。両端の値だけでは決まらず、原点と両端の三つを比べるのが鉄則です。
- ミニ例：y=x²、−3≦x≦1 → x=0 を含むので最小は y=0。両端は y=9 と y=1 で大きい方が最大。よって 0≦y≦9。x=1 ではなく x=−3 のときが最大です。
変化の割合を傾き a そのものだと思ってしまう
- つまずく場面：「y=2x² で x が −1→4 の変化の割合」を求めようとして、一次関数のクセで「a=2 だから 2」と即答しそうになる場面。y=ax² では割合が一定でないことを読み飛ばしている瞬間です。
- 克服のコツ：因果関係で押さえます。y=ax² の変化の割合は 区間ごとに変わる。公式 a(p+q)（x が p→q）に当てはめれば必ず出せます。一次関数の a と混同しないため、必ず p と q を式に書き出してから計算します。
- ミニ例：y=2x² で x が −1→4 → a(p+q)=2·(−1+4)=2·3=6。a の 2 ではありません。同じ式でも x が 1→3 なら 2·(1+3)=8 と区間で変わります。
- y = 3x² で x = −2 のとき y
- y = −x² で x = 5 のとき y
- y = (1/4)x² で x = 6 のとき y
- y = ax² が (2, 8) を通るとき a
- y = ax² が (−3, 18) を通るとき a
- y = ax² で x = 4 のとき y = −32 ⇒ a
- y = 2x² で y = 50 のとき x
- y = −x² で y = −16 のとき x
- y = 3x² の x = −1 のとき y
- (2, 12) を通る y = ax² で x = 3 のとき y
答えを見る
(1) 12 (2) −25 (3) 9 (4) 2 (5) 2 (6) −2 (7) ±5 (8) ±4 (9) 3 (10) a = 3、y = 27
- y = x² で −3 ≦ x ≦ 1 のとき y の変域
- y = 2x² で 1 ≦ x ≦ 4 のとき y の変域
- y = −x² で −2 ≦ x ≦ 3 のとき y の変域
- y = −2x² で −1 ≦ x ≦ 2 のとき y の変域
- y = ax² が (3, 9) を通る ⇒ グラフは上下どちら向き
- y = (1/3)x² と y = 3x² 、開きが広いのはどちら
- y = x² と y = −x² の関係は
- y = ax² のグラフが (2, 12) を通る ⇒ a と頂点
- y = 4x² と x 軸の交点
- y = ax² のグラフが (1, −5) を通るとき a
答えを見る
(1) 原点をまたぐ、0 ≦ y ≦ 9（最大 x=−3 で 9）
(2) 原点含まず、2 ≦ y ≦ 32
(3) 原点またぐ a<0、−9 ≦ y ≦ 0
(4) 原点またぐ a<0、−8 ≦ y ≦ 0
(5) a = 1（>0）→ 上向き
(6) (1/3)x² のほうが開きが広い（|a| が小さい）
(7) x 軸を中心に対称
(8) 12 = 4a → a = 3、頂点 (0, 0)
(9) (0, 0) のみ (10) a = −5
- y = x² で x が 1→3 のときの変化の割合
- y = 2x² で x が −1→4 の変化の割合
- y = −x² で x が 2→5 の変化の割合
- y = ax² で x が 1→3 の変化の割合が 8 ⇒ a
- y = 3x² で x が 2→5 の変化の割合
- y = (1/2)x² で x が 0→4 の変化の割合
- y = −2x² で x が −3→1 の変化の割合
- y = x² の変化の割合の公式
- y = ax² で x が −2→6 の変化の割合が 4 ⇒ a
- 1次関数 y = ax + b で x が 0→3 の変化の割合は
答えを見る
(1) 1·(1+3) = 4 (2) 2·(−1+4) = 6 (3) −1·(2+5) = −7
(4) a·(1+3) = 8 → a = 2 (5) 3·(2+5) = 21 (6) (1/2)·(0+4) = 2
(7) −2·(−3+1) = 4 (8) a(p+q) (9) a·(−2+6) = 4 → a = 1
(10) a（一定）
- y = x² と y = x + 6 の交点
- y = 2x² と y = 4x + 6 の交点
- y = x² 上の (1, 1), (4, 16) を通る直線
- 正方形1辺4cm、P, Q が頂点から毎秒1cmで動き、x秒後の三角形面積 y
- y = 5x²（落下）で 3秒後の落下距離
- y = ax² が (−2, 8) を通り、x が −2→4 の変化の割合
- y = x² と y = 2x の交点
- 放物線 y = (1/2)x² 上の点 (4, 8) と原点を結ぶ直線
- 放物線 y = x² 上の (−2, 4) と (3, 9) を結ぶ直線
- y = ax² と y = x² が原点だけで接する条件
答えを見る
(1) x² = x + 6 → x² − x − 6 = 0 → (x−3)(x+2) = 0 → (3, 9), (−2, 4)
(2) 2x² = 4x + 6 → x² − 2x − 3 = 0 → (x−3)(x+1) = 0 → (3, 18), (−1, 2)
(3) 傾き 5、(1,1) から y = 5x + b → b = −4 → y = 5x − 4
(4) y = (1/2)x² (5) 5·9 = 45 m
(6) a = 2、2·(−2+4) = 4 (7) x² = 2x → x(x−2) = 0 → (0,0), (2,4)
(8) y = 2x (9) (9−4)/(3−(−2)) = 1、y = x + 6
(10) ax² = x² → (a−1)x² = 0。原点だけで交わるには a≠1。さらに y=ax² の比例定数として a≠0。
- ある駐車場の料金は、0 < x ≦ 30 のとき y = 200、30 < x ≦ 60 のとき y = 400（x：利用時間［分］、y：料金［円］）。x = 30 のときの料金はいくらか。
- x：1、2、3、4 に対して y：5、8、11、14 のとき、この関数の式を求めよ。
答えを見る
(1) x = 30 は 0 < x ≦ 30 の区間に含まれる（●）ので y = 200円。
(2) yの増加量は3で一定 → 一次関数。y = 3x + b に (1, 5) を代入して b = 2 → y = 3x + 2。
テスト前のチェックリスト
- □ y = ax² のグラフは 放物線、頂点 (0, 0)
- □ a の符号でグラフの向き、|a| で広がり
- □ 変域：原点を含むかで変わる
- □ 変化の割合 = a(p + q)（x: p→q）
- □ 放物線と直線の交点 = 連立方程式
- □ 1次関数と違い、変化の割合は 一定でない
- 変域の最大・最小：原点を含むか確認
- a が負：x = 0 が最大、両端が最小
- 変化の割合の公式：a(p+q) を覚える
- 1次関数との違い：放物線は曲線、変化の割合は変わる
放物線と三角形の面積
放物線 y = ax² 上の2点 A, B と直線の交点問題
→ 直線の y 切片を底辺とみなす
→ 2点の x 座標の差を高さ（もしくは底辺の長さの計算に利用）
→ 三角形 OAB の面積 = (1/2) × y切片 × |xA − xB|
例：y = x²、A(−1,1)、B(2,4)、直線 y = x + 2 → 三角形 OAB = (1/2)·2·3 = 3
1次関数 vs 2次関数（y = ax²）
| 1次関数 y = ax + b | 2次関数 y = ax² | |
|---|---|---|
| グラフ | 直線 | 放物線（曲線） |
| 変化の割合 | 常に a（一定） | a(p+q)（変化する） |
| 頂点 | なし | 原点 (0, 0) |
| 対称軸 | なし | y 軸 |
| 例 | 速さ一定の運動 | 加速運動・自由落下 |
自由落下と y = ax²
自由落下の落下距離：y = (1/2)g·t²（g ≒ 9.8 m/s²）
時間 t と距離 y は y = ax² の関係
→ 2倍の時間で4倍、3倍の時間で9倍の距離
→ 加速運動の典型例として y = ax² が登場