図でつかむ
この図は、式や定理を読む前に全体像をつかむための補助図です。問題を解くときも、まず同じような簡単な図を自分で描いてから条件を書き込むと、見落としが減ります。
相似とは
△ABC ∽ △DEF …「△ABC と △DEF は相似」
∽ は「相似」の記号。対応する順に書く（A↔D、B↔E、C↔F）。
合同と相似の違い
| 合同（≡） | 相似（∽） | |
|---|---|---|
| 大きさ | 同じ | 違ってもOK |
| 形 | 同じ | 同じ |
| 角の大きさ | 等しい | 等しい |
| 辺の長さ | 等しい | すべて同じ比 |
相似な図形の性質
① 対応する角は等しい。
② 対応する辺の比はすべて等しい。
相似比 ── 拡大率を表す数
△ABC が AB=3, BC=4, CA=5、△DEF が DE=6, EF=8, FD=10
辺の比：3:6 = 4:8 = 5:10 = 1:2 → 相似比 1:2
大きい方は小さい方の 2倍のサイズ。
縦×横：小 4×6、大 6×9
縦の比 4:6 = 2:3、横の比 6:9 = 2:3 → 相似
対応する辺を見つける
A ↔ D、B ↔ E、C ↔ F
辺 AB は辺 DE に対応
辺 BC は辺 EF に対応
辺 CA は辺 FD に対応
相似な図形で長さを求める ── 比を立てる
△ABC ∽ △DEF で相似比 2:3、AB = 6 のとき DE は？
AB:DE = 2:3 → 6:DE = 2:3
2·DE = 18 → DE = 9
AB = 4、DE = 10 → 相似比 4:10 = 2:5
- △ABC ∽ △DEF と書いたら、A は D、B は E、C は F に対応と確定。
- △ABC ∽ △FED と書いたら、A は F、B は E、C は D に対応する。記号の順で対応関係が決まる。
- 記号の順を間違えると、比の立て方が逆になりミスする。
- 相似比が 1:1のとき、合同になる
- つまり 合同 ⊂ 相似（合同なら必ず相似だが、逆は違う）
- 例：1辺3cm の正三角形 2つは 合同かつ 相似
- 1辺3cm と1辺5cm の正三角形は 相似だが合同ではない
- すべての 正方形同士は相似（角は90°、辺の比1:1:1:1で固定）
- すべての 円同士は相似（半径だけが違う）
- すべての 正三角形同士は相似
- すべての 正多角形（n角形）同士は相似
- 長方形は相似とは限らない（縦横比が違うことがある）
身近な相似
- 写真の拡大・縮小
- 地図（縮尺）
- テレビ画面の縦横比（16:9 など）
- 建物の模型と本物
- 動画の解像度違い（同じ画角）
相似で変わるもの・変わらないもの
- 相似な図形では、対応する角の大きさは等しい。
- 対応する辺の長さの比はすべて等しく、その比を相似比という。
- 形は同じでも大きさは違ってよい。相似比1:1なら合同と同じ状態になる。
- 対応順をまちがえると、辺の比も角の対応も崩れる。記号の順番をそろえる。
AとD、BとE、CとFが対応する。したがって AB:DE = BC:EF = CA:FD。
練習問題
- 1辺 3cm の正方形と、1辺 5cm の正方形
- 半径 4cm の円と、半径 9cm の円
- 3辺が 4, 6, 8 の三角形と、3辺が 6, 9, 12 の三角形
答えを見る
(1) 3:5 (2) 4:9 (3) 4:6 = 6:9 = 8:12 = 2:3 → 相似比 2:3
△ABC ∽ △DEF、相似比 3:4、AB = 12cm。DE の長さは。
答えを見る
12:DE = 3:4 → 3·DE = 48 → DE = 16cm
△ABC ∽ △PQR で、A の角 = 60°、B の角 = 80° のとき、R の角は。
答えを見る
A ↔ P、B ↔ Q、C ↔ R。三角形の内角の和 180°、C の角 = 180 − 60 − 80 = 40°。対応する R の角 = 40°
まとめ
- 相似：形は同じ、大きさは違う関係。記号は ∽。
- 対応する 角は等しい、対応する 辺の比はすべて等しい。
- 相似比 = 対応する辺の長さの比。
- 記号 △ABC ∽ △DEF は 対応の順を表す。
- 身近な例：地図・写真・模型・テレビ画面など。